台州市2013-2014学年度第一学期期末学业水平调研测试

高二数学（文科）试卷

（必修5、选修1-1的第1、2章）

说明：1．本试卷共4页，考试时间为120分钟，满分150分；

2．各题均在答题卷指定位置上作答，否则无效；考试结束时，只交回答题卷．

第Ⅰ卷（选择题部分）

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的4个选项中只有一个是正确的，请将所选选项的字母填写在答题卷相应的位置上)

1．命题“若
，则
”的否命题是

A．若
，则
B．若
，则

C．若
，则
D．若
，则

2．双曲线
的渐近线方程是

A．
B．
C．
D．

3．下列是全称命题并且是真命题的是

A．
，
B．
，
，

C．
，
D．
，

4．如果
，那么下面一定成立的是

A．
B．
C．
D．

5．设
：
，
：
，则
是
的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．若方程
表示双曲线，则实数
的取值范围是

A．
B．
C．
或
D．以上答案均不对

7．若实数
，
满足
，则
的最小值是

A．18 B．6 C．
D．

8．已知抛物线
的焦点
，该抛物线上的一点
到
轴的距离为3，则

A．4 B．5 C．6 D．7

9．在等差数列
中，若
，则数列
的前9项的和为

A．180 B．405 C．450 D．810

10．如图，椭圆

的左、右顶点分别是
，
，左、右焦点分别是
，
，若
，
，
成等比数列，则此椭圆的离心率为

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题部分）

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把下列各题的正确答案填写在答题卷相应的位置上)

11．命题：
，
的否定是 ．

12．已知
，
，
分别是
的三个内角
，
，
所对的边，若
，
，
，则
．

13．一个数列，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列
是等和数列，且
，公和为5，那么这个数列的前21项和
．

14．椭圆
内有一点
，过点
的弦恰好以
为中点，那么这条弦所在直线的斜率为 ，直线方程为 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

15．(本小题满分12分)

已知
，
，
分别是
的三个内角
，
，
所对的边，若
，
，
，求边
和
的面积．

16．（本小题满分12分）

已知等比数列
中，
，
．

(1)求数列
的通项公式；

(2)若
，
分别为等差数列
的第3项和第5项，试求数列
的通项公式及前
项和
．

17．（本小题满分14分）

已知不等式
的解集为
．

(1)求
，
的值；

(2)求函数

的最小值．

18．（本小题满分14分）

某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大。已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，经调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：

资 金

每台单位产品所需资金（百元）

月资金供应量

（百元）





空调机

洗衣机





成 本

30

20

300



劳动力（工资）

5

10

110



每台产品利润

6

8





试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润最大？最大利润是多少?

19．（本小题满分14分）

已知顶点是坐标原点，对称轴是
轴的抛物线经过点
．

(1)求抛物线的标准方程；

(2)直线
过定点
，斜率为
，当
为何值时，直线与抛物线有公共点?

20．（本小题满分14分）

设正数列
的前
项和为
，且
．

(1)求数列
的首项
；

(2)求数列
的通项公式；

(3)设
，
是数列
的前
项和，求使得
对所有
都成立的最小正整数
．

2013-2014学年度第一学期期末学业水平调研测试

高二数学（文科）参考答案

一、选择题(每小题5分，共50分)

DACDB ABADC

二、填空题(每小题5分，共20分)

11．
，
12．
或
13．52

14．
，
(只对一个得3分)

三、解答题：

15．解：在
中，由余弦定理得

………3分

∴
………6分

∴
的面积
………9分

………12分

16．解：(1)设等比数列
的公比为

由
，得

解得
………3分

∴数列
的通项公式
，即
………5分

(2)由(1)得
，
，则
，
………6分

设等差数列
的的公差为
，则有

∴
，解得
………8分

∴数列
的通项公式
………9分

∴数列
的前
项和
………10分

………12分

17．解：(1)∵不等式
的解集为

∴1和
是方程
的两根 ………2分

∴

解得
，
………7分

(2)由(1)得
………9分

………11分

=12 ………12分

当且仅当
，即
时，函数
有最小值12 …14分

18．解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是
，
台，总利润是
，可得

线性约束条件为：
，即
………4分

目标函数为
………5分

作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域

……8分

考虑
，将它变形为
，这是斜率为
、随
变化的一族平行直线，
是直线在
轴上的截距，当
取最大值时，
的值最大，当然直线要与可行域相交，由图可得，当直线经过可行域上的点
时，截距
最大，即
最大． ………11分

解方程组
，得
的坐标为
………12分

∴
(百元) ………13分

答：当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获最大利润9600元。 ………14分

19．解：(1)依题意设抛物线的方程为
………2分

把
点的坐标
代入方程得

解得
………5分

∴抛物线的标准方程
………6分

(2)直线
的方程为
，即
………7分

解联立方程组
，消去
，得

得
，化简得
………9分

①当
，由①得
代入
，得

这时直线与抛物线有一个公共点
………11分

②当
，依题意得

解得
或
………13分

综合①②，当
时直线与抛物线有公共点 ………14分

20．解：(1)当
时，由
且
，解得
………2分

(2)由
，得
……①

∴
……②

②-①得：

化简，得
………4分

又由
，得

∴
，即
………5分

∴数列
是以1为首项，公差为2的等差数列 ………6分

∴
，即
………8分

(3)
………10分

∴

………12分

∴要使
对所有
都成立，只需
，即

∴满足条件的最小正整数
． ………14分