高二下学期期中考试数学（理）试题

说明：本试卷为发展卷，采用长卷出题、自主选择、分层计分的方式，试卷满分150分，考生每一大题的题目都要有所选择，至少选做120分的题目，多选不限。试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第5页。考试时间120分钟。

温馨提示：生命的意义在于不断迎接挑战，做完基础题再挑战一下发展题吧，你一定能够成功！

第Ⅰ卷（选择题，共80分）

一、选择题（每小题5分，共80分，每题只有一个正确选项）

1.若命题
为真命题，则下列说法中，一定正确的是（ ）

A.
的逆命题为真命题 B.
为真命题 C.
的否命题为假命题 D.
为假命题

2.关于
的函数
的导数为（ ）

A.
B.
C.
D.

3.
是虚数单位，复数
（ ）

A.
B.
C.
D.

4.双曲线
的焦点坐标是（ ）

A.
B.
C.
D.

5. 用反证法证明命题：“若整数系数的一元二次方程

有有理根，则
中至少有一个是偶数”， 反设正确的是（ ）

A.假设
都是偶数 B.假设
至多有一个是偶数

C.假设
都不是偶数 D.假设
至多有两个是偶数

6. “
”是“
的”（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

7.函数
的极值点个数是（ ）

A.
B.
C.
D.由
确定

8.已知向量
，
，且
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

9.过抛物线
的焦点作直线交抛物线于
，
两点，如果
，那么
（ ）

A.
B.
C.
D.

10.曲线
在点
处的切线的倾斜角为（ ）

A.
B.
C.
D.

11.若直线
的方向向量
，平面
的法向量为
，则（ ）

A.
B.
C.
D.
与
斜交

12. 从
名男队员和
名女队员中选
人进行乒乓球男女混合双打，不同的组队种数有（）

A.
B.
C.
D.

13.若
，则
的解集为（ ）

A.
B.
C.
D.

14.直线
：
过椭圆的左焦点
和一个顶点
，该椭圆的离心率为（ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题，共70分）

注意事项：

1.第Ⅱ卷所有题目的答案考生须用黑色签字笔答在答题纸上，考试结束后将答题卡和答题纸一并上交。

2.答题前将密封线内的项目、座号填写清楚，密封线内答题无效。

二、填空题（本大题共5个题，每题4分，共20分，请将答案写到答题纸上）

17.对大于或等于
的自然数
的
次方幂有如下分解方式：

，
，

根据上述分解规律，则
________________.

18.已知
是虚数单位，若

，则乘积
______.

19.已知
，则
______.

20.若
，
，则
______.

21.平面直角坐标系
中，椭圆
：
的左、右焦点分别是
、
，
为椭圆
上的一点，且
，则
的面积为______.

三. 简答题（本大题共4个题，前三个小题每题12分，最后一题14分，请在答题纸上写出解答过程.）

22. 椭圆短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆长轴端点的最短距离为
，求此椭圆的标准方程.

(1)证明：平面
平面
；

(2)设
为
的中点，求
与
夹角的余弦值.

24.已知函数
在区间
内，当
时取得极小值，
时取得极大值.

（1）求函数
在
时的对应点的切线方程；

（2）求函数
在
上的最大值与最小值.

25.已知点
是椭圆
：

上一点，
，
分别是椭圆
的左、右焦点，
是坐标原点，
轴.

（1）求椭圆
的方程；

（2）设
是椭圆
上两个动点，
（
，且
）.求证：直线
的斜率等于椭圆
的离心率；

（3）在（2）的条件下，求
面积的最大值并求此时
的值.