包三十三中2012-2013学年第二学期期中Ⅰ考试

高二年级数学（理科）试卷

命题：万文俊 审题：教科室 2013.3.27

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。本卷满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷

一.选择题：本卷共12小题每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、
是可导函数，
（ ）

A．
　　　　B．－1 　　　　C．0 　　　　D．－2

2、f/（x）是f（x）的导函数，f/（x）的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（ ）

（A） （B） （C） （D）

3、下列函数中,在
上为增函数的是（ ）

A.
B.
C.
D.

4、平面α的一个法向量
＝(1，－1,0)，则y轴与平面α所成的角的大小为(　　)

A． B． C． D．

5、在空间四边形ABCD中，若
，
，
，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

6、已知
是R上的单调增函数，则
的取值范围是 （ ）

A.
　　　　 B.

C.
　　　　　　　　D.

7、已知函数
在
上是单调函数,则实数
的取值范围是（ ）

A.
B.

C.
D.

8、已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为(　　)

A．60° B．90° C．45° D．以上都不正确

9、点M在z轴上，它与经过坐标原点且方向向量为
=(1，－1,1)的直线l的距离为，则点M的坐标是(　　)

A．(0,0，±2) B．(0,0，±3) C．(0,0，±) D．(0,0，±1)

10、平面α，β的法向量分别是
＝(1,1,1)，
＝(－1,0，－1)，则平面α，β所成角的正弦值是(　　)

A． B．
C． D．

11、函数
在
处有极值10, 则点
为（ ）

A.
B.
C.
或
D.不存在

12、、函数
在[0，3]上的最大值和最小值分别是 （ ）

A. 5，15 B. 5，
C. 5，
D. 5，

二、填空题

13、函数
的极大值为6,极小值为2,则
的减区间是

14、若两点的坐标是A(3cosα,3sinα,1),B(2cosβ,2sinβ,1)，则
的取值范围是_______.

15、两不重合直线l1和l2的方向向量分别为
＝(1,0，－1)，
＝(－2，0,2)，则l1与l2的位置关系是________．

16、点
是曲线
上任意一点, 则点
到直线
的距离的最小值是

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高二年级数学（理科）试卷答题卡

一、选择题答题卡

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12































二、填空题答题卡

13、 ； 14、 ；15、 ；16、 。

三、解答题

17、已知直线
为曲线
在点
处的切线，
为该曲线的另一条切线，且
（Ⅰ）求直线
的方程；（Ⅱ）求由直线
、
和
轴所围成的三角形的面积

18、已知E,F分别是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC和CD的中点，求：

(1)A1D与EF所成角的大小；

(2)A1F与平面B1EB所成角的余弦值；

(3)二面角C-D1B1-B的余弦值.

19、设函数

（Ⅰ）当
求函数满足
时的
的集合；

（Ⅱ）求a的取值范围，使f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数

20．如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD，点E为AB的中点，点F为PD的中点.

(1)证明：平面PED⊥平面PAB；

(2)求二面角P-AB-F的平面角的余弦值.

21、正方形ABCD,ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a(0＜a＜
).当a为何值时，MN的长度最短？

22、设函数

（Ⅰ）求
的单调区间和极值；

（Ⅱ）若关于
的方程
有3个不同实根，求实数a的取值范围.

（Ⅲ）已知当
恒成立，求实数k的取值范围.

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高二年级数学（理科）参考答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



B

D

B

B

D

D

B

B

B

A

B

C



13.
14. ［1,5］, 15. 平行 16.

17、(I)解：

18、(1)∵
=(-1,0,-1),

,

∴
,

∴
=60°.

因此A1D与EF所成角的大小为60°.

(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，

∵AB⊥平面B1C1CB,

∴
是平面B1EB的一个法向量，

∵
=(1,1,0)-(1,0,0)=(0,1,0),

=(0,
,0)-(1,0,1)=(-1,
,-1),

∴
.

由
,

可得A1F与平面B1EB所成角的余弦值为
.

(3)连结AC1,AC,∵AC1⊥平面B1D1C,∴
是平面B1D1C的一个法向量，∵AC⊥平面B1D1B,∴
是平面B1D1B的一个法向量.

∵
=(-1,1,1)，
=(-1,1,0),
,

,

∴
,故所求二面角的余弦值为
.

19、解：（Ⅰ）当


,化为

故，满足（Ⅰ）条件的集合为

（Ⅱ）

要使f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数，必须
，

即
，但
时，
为常函数，所以

20、(1)连结BD,∵ABCD是菱形，∠DAB=60°，

∴△ABD是等边三角形.

又E是AB的中点，

则∠EDB=30°，∠BDC=60°，∴∠EDC=90°，

如图，建立空间直角坐标系Dxyz，设PD=AB=1，

则PF=FD=
，ED=
，

∴P(0，0，1)，E(
，0，0)，B(
，
，0)

∴
，

平面PED的一个法向量为
=(0，1，0)，

设平面PAB的法向量为n=(x,y,1)

由

?
∴n=(
,0,1),

∵
·n=0,即
⊥n,∴平面PED⊥平面PAB.

(2)由(1)知：平面PAB的法向量为n=(
,0,1),

设平面FAB的法向量为n1=(x1,y1,-1)，

由(1)知：F(0，0，
)，
，

，

由

?

∴n1=(
,0,-1).

∴二面角P-AB-F的平面角的余弦值

.

21、∵平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,AB⊥BE,

∴BE⊥平面ABCD.

∴AB,BC,BE两两垂直.

∴以B点为原点，射线BA,BE,BC分别为x轴，y轴和z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

则M(
,0,1-
),N(
,
,0),

∴

.

∴当a=
时，MN最短为
，此时，M,N恰好分别为AC,BF的中点.

22、解:（Ⅰ）

∴当
，

∴
的单调递增区间是
，单调递减区间是

当
；当

（Ⅱ）由（Ⅰ）的分析可知
图象的大致形状及走向（图略）

∴当
的图象有3个不同交点，

即方程
有三解（

（Ⅲ）

∵
上恒成立

令
，由二次函数的性质，
上是增函数，

∴
∴所求k的取值范围是