南开中学高2014级高二(下)期末测试卷

数 学（文史类）

数学（文史类）测试卷共4页。满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2. 答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5. 考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一

项是符合题目要求的．

（1）函数
在点
处的切线的斜率为

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）已知函数
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

（3）已知幂函数
的图象经过点
，则
的值为

（A）
（B）
（C）
（D）

（4）将函数
的图象先向右平移
个单位，再向下平移
个单位得到函数
的图象，则函数
的解析式为

（A）
（B）

（C）
（D）

（5）已知
,“
”是“
”的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

（6）一个几何体的三视图如题(6)图所示，

则该几何体的侧面积为

（A）

（B）

（C）

（D）

（7）对给出的下列命题：

①
；②
；③
；

④若
，则
．其中是真命题的是

（A）①③ （B）②④

（C）②③ （D）③④

（8）若函数
有小于零的极值点，则实数
的取值范围是

（A）
（B）
（C）
（D）

（9）在某县客车临时停靠站，每天均有上、中、下等级的客车各一辆开往城区．某天李先生准备从该站点前往城区办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车的顺序，为了尽可能乘到上等车，他采取如下策略：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，那么李先生乘到上等车的概率为

（A）
（B）
（C）
（D）

（10）若
使
成立，则实数
的取值范围是

（A）
（B）
（C）
（D）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．

（11）已知集合
，
，
，则
中元素的个数为 .

（12）“函数
在
上是增函数”的一个充分不必要条件是 .

（13）已知映射
,其中
,对应法则
若对实数
,在集合
中不存在原象,则
的取值范围是 .

（14）已知函数
，若
且
，则
的最小值为 .

（15）已知函数
满足
，则实数
的取值范围为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（16）（本小题满分13分）

（Ⅰ）解关于
的不等式
；

（Ⅱ）记（Ⅰ）中不等式的解集为
，函数
的定义域为
，求
．

（17）（本小题满分13分）

已知定义在
上函数
为奇函数．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求函数
的值域．

（18）（本小题满分13分）

甲袋中装有
个编号分别为
的红球，乙袋中装有
个编号分别为
的白球，
个球的大小形状完全相同．

（Ⅰ）若从甲、乙两袋中各随机地摸出
个球，写出所有可能结果，并求摸出的
个球编号相同的概率；

（Ⅱ）若把甲袋中的球全部倒入乙袋，再从乙袋中随机地摸出
个球，求摸出的
个球编号之和为奇数的概率．

（19）(本小题满分12分）

如题（19）图，正方体
的棱长为
.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求四面体
的体积.

（20）（本小题满分12分）

设函数
，其中
．

（Ⅰ）若
在其定义域内是单调函数，求
的取值范围；

（Ⅱ）若
在
内存在极值，求
的取值范围.

（21）（本小题满分12分）

已知
，设椭圆
的离心率为
，双曲线
的离心率为
．

（Ⅰ）求
的范围；

（Ⅱ）设椭圆
与双曲线
的公共点分别为
、
，
、
分别是椭圆
和双曲线
上不同于
、
的两个动点，且满足：
，其中
．记直线
、
、
、
的斜率分别为
，若
，求
．

高2014级高二下期末考试参考答案（文科）

一、选择题

BACCB DDBCC

二、填空题

11.
12.
（注：填
的任一真子集即可）

13.
14.
15.

三、解答题

16.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由题
………………6分

（Ⅱ）由
解得
，即
，所以
．………13分

17.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由
为
上的奇函数，知
，由此解得
，故
.

（Ⅱ）设
的值域为
，则
当且仅当关于
的方程
有根，当
时，根为
符合；

当
时，
，于是
且
；

综上，值域为
.

18．（本小题满分13分）

解：记甲袋中的3个球为
，乙袋中的3个球为

（Ⅰ）所有可能结果为：
，共9种

其中编号相同的有2种，所以所求概率为
； …………6分

（Ⅱ）所有可能结果除了上述的9种，还要加上
，共15种

其中编号之和为奇数的有9种，所以所求概率为
．…………13分

19.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由


平行四边形
，
，

又
平面
，
平面
，所以
平面
……6分

（Ⅱ）
……………12分

20．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）

在
上单调，则

当
时，
，符合；当
时，
即
；

；

（Ⅱ）要使
在
内存在极值，由（Ⅰ）知首先有
或
，另外还需要方程

的根在
内 对称轴

只需

解得
或

或
．

21．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）易知
，又因为
，

………………5分

（Ⅱ）易知公共点A、B坐标为
、
，令

则
、

、

得

因为P、Q分别在椭圆、双曲线上

由于
，

即有
，可化为
.

将
带入.得
=5.

又因为

………………12分