2011—2012学年（下）期末考试

高 2013 级 数学(理) 试题

考试说明: 1.考试时间120分钟；

2.试题总分150分；

3.本试卷一张共4页

一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中有且只有一个是正确的，将正确答案的代号填涂在答题卡相应位置上）

1. 已知复数
满足
，则
（ ）

A.5 B.10 C.
D.

2. 设随机变量
服从正态分布
，若
，则
=( )

A.0 B.2 C.3 D.9

3. 已知函数
的导函数为
，则
（ ）

A.0 B.1 C.
D.

4. 用1、2、3、4、5、6这6个数字，可以组成没有重复数字的四位奇数的个数为（ ）

A．60 B．120 C．180 D．240

5. 用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，则假设的内容是（ ）

A．三角形中有两个内角是钝角 B．三角形中有三个内角是钝角

C．三角形中至少有两个内角是钝角 D．三角形中没有一个内角是钝角

6. 已知
，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．

C．
D．

7.甲、乙两人向目标各射击一次（甲、乙相互没有影响），甲命中目标的概率为
，乙命中目标的概率为
.已知目标被击中，则目标被甲击中的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 已知函数
在
上是增函数，则实数
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

9. 从5位志愿者中选派4位到三个社区参加公益活动，每个社区至少需要1位志愿者，但其中甲、乙两位志愿者不能到同一社区参加公益活动，则不同安排方法的种数为(　　)

A．108 B．126 C．144 D．162

10. 设函数
在
上的导函数为
，且
，下面的不等式在
上恒成立的是（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本题共5小题，共25分，将答案写在答题卡相应位置上）

11.
.

12. 3位男生和2位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端且2位女生相邻，则不同排法的种数是 .

13. 已知
，由不等式
启发我们可以得到推广结论：
，则
.

14. 已知直线
与曲线
有公共点，则实数
的取值范围是 .

15. 甲、乙、丙三人从5门课程中各选修2门，则只有1人选择了其中A课程的概率为 .

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答题写出问题说明，证明过程或演算步骤）

16. 已知函数
.

(Ⅰ)求函数
的单调递减区间；

(Ⅱ)求函数
在
上的最值.

17. 已知
，且
.

(Ⅰ)求
;

(Ⅱ)求
中的常数项.

18. 某项选拔共有两轮考核，当第一轮考核合格方可进入第二轮考核，第一轮考核不合格则被淘汰，如果进入第二轮考核并考核合格，则选拔成功，且两轮考核相互独立.已知甲、乙两位选手第一轮考核合格的概率依次为0.6、0.8，第二轮考核合格的概率依次0.5、0.6.

(Ⅰ)求甲、乙两位选手在第一轮考核中只有甲合格的概率；

(Ⅱ)求甲、乙两位选手至少有一人选拔成功的概率.

19. 已知函数
.

(Ⅰ)若曲线
在
处的切线与直线
垂直，求实数
的值；

(Ⅱ)讨论函数
的单调性.

20. 某中学选派40名同学参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的次数统计如表所示：

培训次数

1

2

3



参加人数

5

15

20



(Ⅰ)从这40人中任选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加培训次数恰好相等的概率；

(Ⅱ)从40人中任选两名学生，求这两人参加培训次数之差的绝对值的分布列及数学期望.

21. 已知函数
在
内有极值．

(Ⅰ) 求实数a的取值范围；

(Ⅱ) 若
，
，求证：

高2013级期末试题参考答案

此时，
随
的变化情况如下表：





0



1







－

0

＋

0







↘

极小值1

↗





…………….4分

由上表可知函数
在
上的最小值为
，最大值为
.……….1分

17.解：(Ⅰ) ∵
，∴
，…………….2分

∴
，解之得
…………….3分

∴
……………….…2分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知
，∴
，…………….3分

令
，得
，

∴
中的常数项为
.…………….3分

18.解：(Ⅰ)设事件
“甲第
轮考核合格”， 事件
“乙第
轮考核合格”，

则
，
，
，
，…………...2分

∴

∴甲、乙两位选手在第一轮考核中只有甲合格的概率为0.12. ……….4分

(Ⅱ)设事件
“甲选拔成功”， 事件
“乙选拔成功”，

则
，

，………………...3分

∴
，

∴甲、乙两位选手至少有一人选拔成功的概率为0.636. …………….4分

19.解：(Ⅰ)
，…………….2分

∵曲线
在
处的切线与直线
垂直，

∴
，

同理可得
增；…………….2分

（iii）当
时，
，

∴
增. ………………..…….2分

20.解：(Ⅰ)这3名同学中至少有2名同学参加培训次数恰好相等的概率为：

，…………….5分

(Ⅱ)设这两人参加培训次数之差的绝对值为
，由题意知
=0,1,2，

∴

…………….3分

∴随机变量
的分布列为：

 0

 1

 2













…………….2分

∴
，

∴这两人参加培训次数之差的绝对值的数学期望为
.…………….2分

∴当
时，
；

当
时，
；

∴
…………….3分

又∵
，
，

∴

………………….2分

记
，则
，

∴当
时，
，

∴
在
上单调递增，

由
，知
，即
，

∴
，

∴
，即
.…………….3分