数学试卷（理科）答案

一、选择题：每题5分，共50分。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

B

D

D

B

C

A

B

C

C



二、填空题：每题5分，共25分。

11.
12.
13.
14.
15.⑵⑶⑷。

三、解答题：共6题，共75分。

17. (12分)命题：函数
有意义，有
，即
在
时恒成立，设
，则当
时，
恒成立，有
，得
，解得
。

命题：若
，
值域为R，若
，
值域为R的条件为
，即
，
为真时，
。若“
”为真，“
”为假时，
。

18. (12分)⑴在平面ACD中任取一点M，过点M 作
于点P，
于点Q，因为平面ABC⊥平面ACD，
，
平面ACD，故
平面ABC，
，故
平面ABC，所以
，同理可得
，因为
，
平面ACD，
平面ACD，所以
平面ACD。

⑵因为
是
外接圆的圆心，O是球心，根据球的性质可得：直线
平面ACD，由⑴可知直线
平面ACD，故直线
，因为直线
平面
，直线
平面
，所以直线
平面
。

⑶将三棱锥
补成球内接正三棱柱，则球心O 为该正三棱柱的中心，故
。在
中，
，
，故
，即
。取AC中点E，由正
可得，
且
，由⑴可知
平面ACD，故
，所以
为所求二面角的平面角，在
中，
，所以所求二面角的正切值为
。

20. (13分)⑴由
，
，得
，
，所以椭圆方程是
。

⑵设直线EF：
代入
，得
，设
，
，由
，得
，由
，
，得
，
或
(舍)，故直线EF的方程为：
，即
。

⑶将
代入
，得
，设
，
，若以PQ为直径的圆过
，则
，所以
，又
，
，得
，解得
，此时
方程
，故存在
，满足题设条件。

21. (13分)⑴
①，当
时，
，因为
，所以
；当
时，
②，①-②得
，因为
，所以
，所以数列
是以2为首项，1为公差的等差数列，所以
。

⑵易知数列
成等比数列，当
时，
；当
时，
。