2015年上学期“湖南省五市十校教研教改共同体”高一期中联考数学试题

命制：箴言中学 审稿：箴言中学

时量120分钟 分值150分

注意事项：

１．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案的标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

5．参考公式：

锥体体积公式：
其中
为底面面积，
为高；

线性回归方程参考公式：

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的．

1．
= 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　（　 　）

A．
B．
C．
D．

2．下列说法正确的是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 （　 　）

A．正切函数在定义域内为单调增函数；

B．若是第一象限角，则
是第一象限角；

C．用秦九韶算法计算多项式
当
时的值时，
；

D．若扇形圆心角为2弧度，且扇形弧所对的弦长为2，则这个扇形的面积为
．

3．执行如图所示的程序框图，则输出s的值为　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 　)

A．30 　　　 B．31 　　　 C．62 　　　　　 D．63

4．如图所示，在矩形
中，
，
，图中阴影部分是以
为直径的半圆，现在向矩形
内随机撒4000粒豆子（豆子的大小忽略不计），根据你所学的概率统计知识，下列四个选项中最有可能落在阴影部分内的豆子数目是 （ ）

A．1000 B．2000 C．3000 D．4000

5．直线
过点
且与直线
垂直，则直线
的方程为 （ ）

A．
B．
C．
D．

6．函数
的零点位于区间 （ ）

A．
B．
C．
D．

7．有40件产品，编号从1到40，先从中抽取4件检验，用系统抽样方法确定所抽的编号可能为　（　 ）

A．5,10,15,20 B．2,12,22,32

C．2,14,26,38 D．5,8,31,36

8．总体编号为001,002,003，…，299， 300的300个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3、4、5列数字开始由左到右依次选取三个数字，则选出来的

第5个个体的编号为 （　 　）

78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 97 28 01 98



32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81





A．080 B．263 C．140 D．280

9．某次数学测试后从两个班中各随机的抽取10名学生的数学成绩，作出它们的茎叶图如图所示，已知甲班的中位数为
，标准差为
，乙班的中位数为
，标准差为
，则由茎叶图可得 （ ）

A．

B．

C．

D．

10．已知直线
和圆
，则圆
上到直线
的距离等于1的点的个数为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ ）

A．4 　　 B．3 　　　 C．2 　　　 D．1

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．将二进制数
化为八进制数为
；

12．执行如图所示的程序，输出的结果是__________；

13．三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为________；

14．已知具有线性相关关系的两个相关变量与之间的几组数据如下表:

2

4

6

8

10





5

6

5

9

10





利用最小二乘法求得线性回归方程为___________________；

15．若角满足条件
，
，则角是第 象限角．

三、解答题

16．（本小题共12分）

（1）化简：
；

（2）已知
，求
的值；

17．（本小题共12分）

某校1000名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如右图所示，其中成绩分组区间是: [50,60), [60,70),[70,80),[80,90),[90,100]。

（1）求图中的值；

（2）根据频率分布直方图，估计这1000名学生数学成绩的平均分；

（3）若这1000名学生数学成绩某些分数段的人数()与语文成绩相应分数段的人数()之比如下表所示，求语文成绩在[50，90）之外的人数。

分数段

[50，60）

[60，70）

[70，80）

[80，90）



x︰y

1︰1

4：5

3︰2

2︰1





18．（本小题共12分）

为了了解某校学生对社会主义核心价值观的背诵掌握情况，拟采用分层抽样的方法从该校的高一、高二、高三这三个年级中共抽取7个班进行调查，已知该校的高一、高二、高三这三个年级分别有18、12、12个班级。

（Ⅰ）求分别从高一、高二、高三这三个年级中抽取的班级个数；

（Ⅱ）若从抽取的7个班级中随机抽取2个班级进行调查结果的对比，求这2个班级中至少有1个班级来自高一年级的概率。

19．（本小题共13分）

如图所示，在三棱柱
中，侧棱垂直于底面，
，
，
，，分别是
，
的中点．

(1)求证：直线
⊥平面
；

(2)求异面直线
与
所成的角的正弦值。

20．（本小题共13分）

已知函数
其中
。若点
为函数
图像的一个对称中心，（1）求的值；（2）求函数
的周期和单调增区间。

21．（本小题共13分）

已知函数
，

（1）用定义法证明
在上是增函数；

（2）求出所有满足不等式
的实数构成的集合；

（3）对任意的实数
，都存在一个实数
，使得
，求实数的取值范围。

2015年上学期“湖南省五市十校教研教改共同体”高一期中联考

数学答案

一、选择题：

1．C 2．Ｄ　3．Ａ　4．Ｃ　　5．Ｄ　　6．Ｃ　　7．Ｂ　　8．Ｄ　　9．Ａ　　10．Ｂ

二、填空题：

11． 32；　12． S=15；13．
；14．
；15． 二 ．

三、解答题

16．（本小题共12分）

（1）解：原式
……6分

（2）解：原式
……12分

17．（本小题共12分）

（1）由频率分布图可知：
……4分

（2）由频率分布图可得该校1000名学生的数学成绩平均分为
……8分

（3）语文成绩在
内的人数为
人

语文成绩在
外的人数为
人 ……12分

18．（本小题共12分）

（1）解：班级总数为18+12+12=42，样本容量与总体中的个体数比为
，所以从高一、高二、高三这三个年级中分别抽取的班级个数为3，2， 2. ……4分

（2）设
为在高一年级中抽取的3个 班级，
为在高二年级中抽取的2个 班级，
为在高三年级中抽取的2个 班级，从这 7个班级中随机抽取2个，全部的可能结果有21种（列举出来）， ……8分

随机抽取的2个班级中至少有1个班级来自高一年级的结果有一共有15种（列举出来）．……10分

所以概率为
……11分

答：这2个班级中至少有1个班级来自高一年级的概率为
。 ……12分

19．（本小题共13分）

解：(1)证明：在三棱柱ABC - A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，

所以BB1⊥AB.

又因为AB⊥BC，

所以AB⊥平面B1BCC1. ……6分

(2)解：如图，取AC的中点G，连结
，

由题意易得
∥
，所以
就是异面直线
与
所成的角，由（1）可知直线
⊥平面
，所以
⊥
，又
∥
，所以
⊥

在
中，
，所以

又在
中，
，

所以

即异面直线
与
所成的角的正弦值为
……13分

20．（本小题共13分）

解：（1）点
为函数
图像的一个对称中心

，即：
……3分

……6分

又因为
，所以
。 ……7分

（2）由（1）知
，则
，所以
……9分

由
得
……11分

函数
的单调增区间为
。 ……13分

21．（本小题共13分）

证明：（1）
的定义域为，设
、
是上任意两个值，且

，则

∵

∴
，
，
∴

∴
在上是增函数； ……4分

解：（2）∵

∴
在上是奇函数 ……5分

∵
∴

又∵
在上是增函数 ∴

解得
∴所求实数构成的集合为
……8分

（3）∵
在上是增函数 ∴当
时，
即

设
在
上的值域为，则由题意可知

∵

∴
解得
或
……10分

当
时，函数
在
上为减函数，

所以

由
得
解得
……11分

当
时，函数
在
上为增函数，

所以

由
得
解得
……12分

综上可知，实数的取值范围为
或
。 ……13分