华中师大一附中2014—2015学年度第二学期期中检测高一年级数学试题

考试限时：120分钟 卷面满分：150分 命题人：黄倩 审题人：黄进林

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的

1．数列
，
，
，
，…的一个通项公式为

A．
B．

C．
D．

2．等差数列{an}中，a2 + a8 =16，则{an}的前9项和为

A．56 B．96 C．80 D．72

3．下列命题中正确的是

A．两两相交的三条直线共面

B．两条相交直线上的三个点可以确定一个平面

C．梯形是平面图形

D．一条直线和一个点可以确定一个平面

4．数列{an}满足a1=0，
，则

A．0 B．
C．1 D．2

5．下列命题中正确的个数是

（1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等

（2）若直线l与平面平行，则直线l与平面内的直线平行或异面

（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等

（4）垂直于同一条直线的两条直线平行

A．0 B．1 C．2 D．3

6．已知
，不等式
的解集为

A．
B．
C．
D．

7．如右图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中

①BM与ED平行 ②CN与BE是异面直线

③CN与BM成
角 ④DM与BN是异面直线

以上四个结论中，正确结论的序号是

A．①②③ B．②④ C．③④ D．①③④

8．已知
，则
的最小值为

A．12 B．16 C．20 D．10

9．关于x的不等式
的解集为非空数集，则实数的取值范围是

A．
B．

C．
或
D．
或

10．
的值为

A．
B．
C．
D．

11．正项数列{an}，a1=1，前n项和Sn满足
，则

A．72 B．80 C．90 D．82

12．已知正数x, y, z满足
，则
的最小值为

A．3 B．
C．4 D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13．已知实数x, y满足
且
，则
的取值范围是 ．

14．等差数列{an}中，
，公差
，则使前n项和Sn取得最大值的正整数n的值是

．

15．已知
，
，则m, n之间的大小关系为 ．

16．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列{an}是等和数列，且a1=2，公和为5，则数列{an}的前n项和Sn ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．（本小题满分10分）

已知，
R+，
，求
的最小值．

18．（本小题满分12分）

在正方体
中，G是C1D1的中点，H是A1B1的中点

（1）求异面直线AH与BC1所成角的余弦值；

（2）求证：BC1∥平面B1DG．

19．（本小题满分12分）

已知等比数列{an}满足
，
且公比
，

（1）求{an}的通项公式；

（2）若
，求{bn}的前n项和Tn．

20．（本小题满分12分）

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑

物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源

消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：
，若不

建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设
为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

（1）求的值及
的表达式；

（2）隔热层修建多厚时，总费用
达到最小，并求最小值．

21．（本小题满分12分）

数列{an}满足
，
，

（1）求证：
成等比数列；

（2）若
对一切
N*及
恒成立，求实数t的取值范围．

22．（本小题满分12分）

已知数列{an}的前n项和Sn满足
，

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求证：数列{an}中的任意三项不可能成等差数列；

（3）设
，Tn为{bn}的前n项和，求证
.

华中师大一附中2014—2015学年度下学期高一期中检测

数学试题答案

选择题

DDCBCA CABBAC

填空题

13.
14. 5或6 15.
16.

三．解答题

17.解：
……………….7分

当且仅当
且
即
时取“=”……………..9分

所以
的最小值为
……………………………………………10分

(说明:若没有求出
的具体值，本题最多给8分)

18.解：(1)连结
，
，

∵AB∥C1D1 AB=C1D1

∴四边形
为平行四边形，

∴AD1∥BC1，

∴
为异面直线
与
所成的角,…….….2分

设正方体棱长为1，

在
中，
，
，

∴
……………..….5分

∴异面直线
与
所成角的余弦值为
…………….6分

(2)连结
交
于点
，

连结
，易知
为
的中点，

在
中，
为中位线，∴OG∥BC1

又
平面
且
平面

∴BC1∥平面
………………….12分

19.解：（1）
又

………………………………………5分

（2）由（1）知

得

……………………………12分

（说明：第（2）问如果结果错误不给分）

20.解：（1）设隔热层厚度为
， 再由
，得
， ………………..2分

因此
.

隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为

……….6分

（2）

当且仅当
即
时取
……………….11分

所以当隔热层修建
厚时， 总费用达到最小值为
万元 ………………..12分

21.解：（1）证明：

是等比数列，首项为
，公比为
……………………….5分

（2）由1）知
得
…………………..6分

当为奇数时，
单减

当为偶数时，
单增

所以
（当
时取等号） …………………………9分

由题
对
恒成立

记
，要使

需
得
……………………………..12分

（说明：第（2）问中如果不讨论的奇偶性，即使最终答案正确，最多给9分）

22. 解：（1）
，

得
又

为等比数列，首项为，公比为，
……………..3分

（2）假设
中存在三项
按某种顺序成等差数列

单增

即

同除以
得

左端为偶数，右端为奇数，矛盾

所以任意三项不可能成等差数列 ……………………7分

（3）

当
时，
，不等式成立 ………………………8分

当
时，

综上 ，对于一切
有
成立 …………………………12分