江苏省宿迁市剑桥国际学校2014-2015学年高一上学期期中考试数学

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

1．设全集A={0,1,2}，B={－1,0,1}，则A∪B= 。

2．函数f(x)=
的定义域是 。

3．已知幂函数y=f(x)的图象经过点(2,16)，则函数f(x)的解析式是 。

4．满足(
)x>
的实数x的取值范围为 。

5．若方程x2－px+8=0的解集为M，方程x2－qx+p=0的解集为N，且M∩N={1}，则p+q= 。

6．若函数f(x)=x2+2x+3的单调递增区间是 。

7．设函数f(x)=
，则f(f(3))= 。

8．设a=log0.60.9，b=ln0.9，c=20.9，则a、b、c由小到大的顺序是 。

9．函数y=ax+1+1(a>0且a≠1)的图象必经过定点 。

10．函数f(x)=log2(3x+1)的值域为 。

11．若方程log2x=7－x的根x0∈(n,n+1)，则整数n= 。

12．f(x)是定义在R上的奇函数，且单调递减，若f(2－a)+f(4－a)<0，则a的取值范围为 。

13．关于x的方程|x2－1|－a=0有三个不相等的实数解，则实数a的值是 。

14．下列说法中： ①若f(x)=ax2+(2a+b)x+2 (其中x∈[2a－1,a+4])是偶函数，则实数b=2；②f(x)表示－2x+2与－2x2+4x+2中的较小者，则函数f(x)的最大值为1；③若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞])，则a=－6；④已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的x、y∈R都满足f(x·y)=x·f(y)+y·f(x)，则f(x)是奇函数. 其中正确说法的序号是 (注：把你认为是正确的序号都填上)。

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（本题14分）设U=R，A={x|1≤x≤3}，B={x|2

16．（本题14分）计算： (1)
(2)

17．（本题14分）已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a>0且a≠1)．(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．

18．（本题16分）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比．药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝()t－a(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？

19．（本题16分）设函数f(x)=kax－a-x(a>0且a≠1)是奇函数。(1)求常数k的值；(2)若a>1，试判断函数f(x)的单调性，并加以证明；(3)若已知f(1)=
，且函数g(x)=a2x+a -2x－2mf(x)在区间[1,+∞])上的最小值为—2，求实数m的值。

20．（本题16分）已知函数f(x)=x2+mx－4在区间[－2,1]上的两个端点处取得最大值和最小值。(1)求实数m的所有取值组成的集合A；(2)试写出f(x)在区间[－2,1]上的最大值g(m)；(3)设h(x)=
，令F(m)=
，其中B=
RA，若关于m的方程F(m)=a恰有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围。

宿迁市剑桥国际学校2014-2015学年上学期期中考试

高一数学试卷参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

1．设全集A={0,1,2}，B={－1,0,1}，则A∪B= 。{－1,0,1,2}

2．函数f(x)=
的定义域是 。[0,+∞])

3．已知幂函数y=f(x)的图象经过点(2,16)，则函数f(x)的解析式是 。y=x4

4．满足(
)x>
的实数x的取值范围为 。x<

5．若方程x2－px+8=0的解集为M，方程x2－qx+p=0的解集为N，且M∩N={1}，则p+q= 。19

6．若函数f(x)=x2+2x+3的单调递增区间是 。(—1,+∞)

7．设函数f(x)=
，则f(f(3))= 。

8．设a=log0.60.9，b=ln0.9，c=20.9，则a、b、c由小到大的顺序是 。b

9．函数y=ax+1+1(a>0且a≠1)的图象必经过定点 。(－1,2)

10．函数f(x)=log2(3x+1)的值域为 。(0,+∞)

11．若方程log2x=7－x的根x0∈(n,n+1)，则整数n= 。4

12．f(x)是定义在R上的奇函数，且单调递减，若f(2－a)+f(4－a)<0，则a的取值范围为 。a<3

13．关于x的方程|x2－1|－a=0有三个不相等的实数解，则实数a的值是 。1

14．下列说法中：①若f(x)=ax2+(2a+b)x+2 (其中x∈[2a－1,a+4])是偶函数，则实数b=2；②f(x)表示－2x+2与－2x2+4x+2中的较小者，则函数f(x)的最大值为1；③若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞])，则a=－6；④已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的x、y∈R都满足f(x·y)=x·f(y)+y·f(x)，则f(x)是奇函数. 其中正确说法的序号是 (注：把你认为是正确的序号都填上)。①③④

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（本题14分）设U=R，A={x|1≤x≤3}，B={x|2

16．（本题14分）计算： (1)
(2)
解：(1)原式=(23)
—(
)+3+1=9—
 (2)原式=(lg5)2+lg2(lg25+lg2)= (lg5)2+2lg2lg5+(lg2)2=(lg2+lg5)2=1

17．（本题14分）已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a>0且a≠1)．(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)∵当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义 ∴3－ax>0对任意的x∈[0,2]恒成立 又a>0且a≠1 ∴3－2a>0 ∴0

18．（本题16分）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比．药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝()t－a(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？ 解：(1)当0≤t≤0.1时，设y=kt 将(0.1,1)代入求得k=10 又(0.1,1)适合y＝()t－a， ∴1=()0.1－a，解得a=0.1 ∴y=
 (2)令()t－0.1≤0.25 解得t≥0.6 即至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室。

19．（本题16分）设函数f(x)=kax－a-x(a>0且a≠1)是奇函数。(1)求常数k的值；(2)若a>1，试判断函数f(x)的单调性，并加以证明；(3)若已知f(1)=
，且函数g(x)=a2x+a -2x－2mf(x)在区间[1,+∞])上的最小值为—2，求实数m的值。解：(1)函数f(x)=kax－a-x的定义域为R ∵函数f(x)=kax－a-x (a>0且a≠1)是奇函数 ∴f(0)=k－1=0 ∴k=1 (2) f(x)=ax－a-x 设x1、x2为R上两任意实数，且x11，x10且a≠1 ∴a=3 g(x)=32x+3-2x－2m(3x－3-x)= (3x－3-x)2－2m(3x－3-x)+2 (x≥1) 令3x－3-x=t (t≥
) 则y=t2－2mt+2=(t—m)2—m2+2 当m≥
时，ymin=—m2+2=－2，解得m=2，舍去 当m<
时，ymin= (
)2－2m×
+2=－2，解得m=
 ∴m=

20．（本题16分）已知函数f(x)=x2+mx－4在区间[－2,1]上的两个端点处取得最大值和最小值。(1)求实数m的所有取值组成的集合A；(2)试写出f(x)在区间[－2,1]上的最大值g(m)；(3)设h(x)=
，令F(m)=
，其中B=
RA，若关于m的方程F(m)=a恰有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围。解：(1)∵函数f(x)=x2+mx－4在区间[－2,1]上的两个端点处取得最大值和最小值 ∴f(x)在区间[－2,1]上具有单调性 ∴
≥1或
≤－2 解得m≤－2或m≥4 ∴A=(－∞,－2)]∪[4, +∞]) (2)当m≤－2时，g(m)=f(x)max=f(－2)=－2m 当m≥4时，g(m)=f(x)max=f(1)=m—3 ∴g(m)=
 (3) F(m)=
 作出y=F(m)和函数y=a的图像如图所示， 结合图像知 实数a的取值范围是1