第二节 椭圆的几何性质
典型例题(一)(例1~例4)
例1 椭圆的一个顶点为 ,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程.
分析 题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置.
解:(1)当 为长轴端点时, , ,
椭圆的标准方程为: ;
(2)当 为短轴端点时, , ,
椭圆的标准方程为: ;
点评:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况.
例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率.
解: ∴ ,
∴ .
点评:求椭圆的离心率问题,通常有两种处理方法,一是求 ,求 ,再求比.二是列含 和 的齐次方程,再化含 的方程,解方程即可.
例3 已知中心在原点,焦点在 轴上的椭圆与直线 交于 、 两点, 为 中点, 的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.
解:由题意,设椭圆方程为 ,
由 ,得 ,
∴ , ,
,∴ ,
∴ 为所求.
点评:(1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法;(2)直线与曲线的综合问题,经常要借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题.
例4 椭圆 上不同三点 , , 与焦点 的距离成等差数列.
(1)求证 ;
(2)若线段 的垂直平分线与 轴的交点为 ,求直线 的斜率 .
证明:(1)由椭圆方程知 , , .
由圆锥曲线的统一定义知: ,
∴ .
同理 .
∵ ,且 ,
∴ ,
即 .
(2)因为线段 的中点为 ,所以它的垂直平分线方程为
.
又∵点 在 轴上,设其坐标为 ,代入上式,得
又∵点 , 都在椭圆上,
∴
∴ .
将此式代入①,并利用 的结论得
∴ .
典型例题(二)(例5~例8)
例5 已知椭圆 , 、 为两焦点,问能否在椭圆上找一点 ,使 到左准线 的距离 是 与 的等比中项?若存在,则求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
解:假设 存在,设 ,由已知条件得
, ,∴ , .
∵左准线 的方程是 ,
∴ .
又由焦半径公式知:
,
.
∵ ,
∴ .
整理得 .
解之得 或 . ①
另一方面 . ②
则①与②矛盾,所以满足条件的点 不存在.
注:(1)利用焦半径公式解常可简化解题过程.
(2)本例是存在性问题,解决存在性问题,一般用分析法,即假设存在,根据已知条件进行推理和运算.进而根据推理得到的结果,再作判断.
(3)本例也可设 存在,推出矛盾结论(读者自己完成).
例6 已知椭圆 ,求过点 且被 平分的弦所在的直线方程.
分析一:已知一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为 ,利用条件求 .
解法一:设所求直线的斜率为 ,则直线方程为 .代入椭圆方程,并整理得
.
由韦达定理得 .
∵ 是弦中点,∴ .故得 .
所以所求直线方程为 .
分析二:设弦两端坐标为 、 ,列关于 、 、 、 的方程组,从而求斜率: .
解法二:设过 的直线与椭圆交于 、 ,则由题意得
①-②得 . ⑤
将③、④代入⑤得 ,即直线的斜率为 .
所求直线方程为 .
注:(1)有关弦中点的问题,主要有三种类型:过定点且被定点平分的弦;平行弦的中点轨迹;过定点的弦中点轨迹.
(2)解法二是“点差法”,解决有关弦中点问题的题较方便,要点是巧代斜率.
(3)有关弦及弦中点问题常用的方法是:“韦达定理应用”及“点差法”.有关二次曲线问题也适用.
例7 求适合条件的椭圆的标准方程.
(1)长轴长是短轴长的2倍,且过点 ;
(2)在 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直,且焦距为6.
分析:当方程有两种形式时,应分别求解,如(1)题中由 求出 , ,在得方程 后,不能依此写出另一方程 .
解:(1)设椭圆的标准方程为 或 .
由已知 . ①
又过点 ,因此有
或 . ②
由①、②,得 , 或 , .故所求的方程为
或 .
(2)设方程为 .由已知, , ,所以 .故所求方程为 .
说明 根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准,定参数”.关键在于焦点的位置是否确定,若不能确定,应设方程 或 .
例8 椭圆 的右焦点为 ,过点 ,点 在椭圆上,当 为最小值时,求点 的坐标.
分析 本题的关键是求出离心率 ,把 转化为 到右准线的距离,从而得最小值.一般地,求 均可用此法.
解:由已知: , .所以 ,右准线 .
过 作 ,垂足为 ,交椭圆于 ,故 .显然 的最小值为 ,即 为所求点,因此 ,且 在椭圆上.故 .所以 .
说明:本题关键在于未知式 中的“2”的处理.事实上,如图, ,即 是 到右准线的距离的一半,即图中的 ,问题转化为求椭圆上一点 ,使 到 的距离与到右准线距离之和取最小值.
典型例题(例9~例12)
例9 求椭圆 上的点到直线 的距离的最小值.
分析:先写出椭圆的参数方程,由点到直线的距离建立三角函数关系式,求出距离的最小值.
解:椭圆的参数方程为 设椭圆上的点的坐标为 ,则点到直线的距离为
.
当 时, .
说明:当直接设点的坐标不易解决问题时,可建立曲线的参数方程.
例10 设椭圆的中心是坐标原点,长轴在 轴上,离心率 ,已知点 到这个椭圆上的点的最远距离是 ,求这个椭圆的方程,并求椭圆上的点 的距离等于 的点的坐标.
分析:本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力,在求 的最大值时,要注意讨论 的取值范围.此题可以用椭圆的标准方程,也可用椭圆的参数方程,要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题,从而加强等价转换、形数结合的思想,提高逻辑推理能力.
解法一:设所求椭圆的直角坐标方程是 ,其中 待定.
由 可得
,即 .
设椭圆上的点 到点 的距离是 ,则
其中 .
如果 ,则当 时, (从而 )有最大值.
由题设得 ,由此得 ,与 矛盾.
因此必有 成立,于是当 时, (从而 )有最大值.
由题设得 ,可得 , .
∴所求椭圆方程是 .
由 及求得的椭圆方程可得,椭圆上的点 ,点 到点 的距离是 .
解法二:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是 ,其中 ,待定, , 为参数.
由 可得
,即 .
设椭圆上的点 到点 的距离为 ,则
如果 ,即 ,则当 时, (从而 )有最大值.
由题设得 ,由此得 ,与 矛盾,因此必有 成立.
于是当 时 (从而 )有最大值.
由题设知 ,∴ , .
∴所求椭圆的参数方程是 .
由 , ,可得椭圆上的是 , .
例11 设 , , ,求 的最大值和最小值.
分析:本题的关键是利用形数结合,观察方程 与椭圆方程的结构一致.设 ,显然它表示一个圆,由此可以画出图形,考虑椭圆及圆的位置关系求得最值.
解:由 ,得
可见它表示一个椭圆,其中心在 点,焦点在 轴上,且过(0,0)点和(3,0)点.
设 ,则
它表示一个圆,其圆心为(-1,0)半径为 .
在同一坐标系中作出椭圆及圆,如图所示.观察图形可知,当圆过(0,0)点时,半径最小,即 ,此时 ;当圆过(3,0)点时,半径最大,即 ,∴ .
∴ 的最小值为0,最大值为15.
例12 已知椭圆 , 、 是其长轴的两个端点.
(1)过一个焦点 作垂直于长轴的弦 ,求证:不论 、 如何变化, .
(2)如果椭圆上存在一个点 ,使 ,求 的离心率 的取值范围.
分析:本题从已知条件出发,两问都应从 和 的正切值出发做出估计,因此要从点的坐标、斜率入手.本题的第(2)问中,其关键是根据什么去列出离心率 满足的不等式,只能是椭圆的固有性质: , ,根据 得到 ,将 代入,消去 ,用 、 、 表示 ,以便利用 列出不等式.这里要求思路清楚,计算准确,一气呵成.
解:(1)设 , , .
于是 , .
∵ 是 到 的角.
∴
∵
∴ , 故
∴ .
(2)设 ,则 , .
由于对称性,不妨设 ,于是 是 到 的角.
∴
∵ , ∴
整理得
∵
∴
∵ , ∴
∵ , ∴ , ,
∴ ,
∴ 或 (舍),∴ .