第二节 椭圆的几何性质

教材分析

1．知识结构

2．重点难点分析

　　重点是利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质；难点是椭圆第二定义的应用；关键是注意数形结合、方程的思想及等价转化思想的运用．

　　根据曲线的方程来讨论曲线的几何性质，是解析几何的主要内容，也是我们学习解析几何的主要目的之一．它体现了数形结合的思想方法．

　　尽管从椭圆的定义可以分析出椭圆的一些几何性质，但这不是解析几何所要研究的基本问题．我们一定要从椭圆的标准方程出发，仔细研究椭圆的几何性质，如由 ，得 ，…；在椭圆方程 中，以 代换 方程不变，说明椭圆关于 轴对称，…；又同 ，当且仅当 时， 取得最大值 ，所以椭圆的长轴为 ， ， 为椭圆的两个顶点，等等．

　　我们这样研究椭圆的几何性质，就是想让学生做“用代数的方法研究几何问题”的初步尝试．

椭圆的几何性质可分为两类．一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率；一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标、准线方程．对于第二类性质，只要将 的有关性质中横坐标 和纵坐标 互换，就可以得出 的有关性质．

教法建议

　　（1）让学生利用椭圆的定义，亲自描绘一个椭圆；让学生自己挑选坐标系，推导出椭圆的标准方程；让学生根据椭圆方程的特点研究椭圆的几何性质；让学生根据椭圆的定义或标准方程，设计一种画椭圆的方法．

　　（2）教师要引导学生认清椭圆的基本量的个数是两上，通常我们选取 和 ，其余量 ， ，焦点到相应准线的距离 ，中心到准线的距离为 ，都可用 、 来表示．看起来确定了 和 ，椭圆的大小、形状虽之而定，同样确定一个椭圆的标准方程，也需要两个独立条件，当条件简单时，可直接求出 和 ，在代入椭圆的标准方程，当条件复杂时，可先设出椭圆的标准方程，用待定系数法解决 和 ．

　　（3）教师要引导学生研究椭圆上点的特征，明确椭圆上的点满足椭圆的第一定义，满足椭圆的第二定义，其坐标满足椭圆的标准方程，又满足椭圆的参数方程 ．在解决具体问题时，到底应用哪一条特性，要因题而议，与两焦点相关问题可考虑第一定义或第二定义；与一个焦点和一条准线相关的问题，可直接利用第二定义，第二定义可以把椭圆上的点与焦点的倾斜距离改为水平距离．

　　（4）教师要带领学生探究直线与椭圆的公共点个数问题，探究的方法是解析法，让学生懂得直线与椭圆的公共点问题，等价于它们对应的二元二次方程组的解的个数问题，又等价于消元后的一元二次方程的根的个数问题，进而，得到处理直线与曲线交点个数的一般方法．基础较好的学生还可以总结直线与曲线相交所得的弦长公式．