第五节 一元二次不等式的解法

三次方程求解的历史

　　方程是初等代数学的重要内容，历史上曾经是代数学的主要内容。古代各民族各地区数学都曾努力探讨过代数方程的求解．最简单、最基本的代数方程是一次方程，一次方程的求解在巴比伦数学、古埃及数学、印度和中国古代数学中都已得到解决．方程的发展自然地指向未知数指数的提高：所有这些古代数学中也都探讨了二次方程的求解问题，中国和后来的古希腊、阿拉伯的数学家也基本上解决了这个问题．三次方程的问题在一些古代数学中已经提出来了，但未能给出一般性解决．较早提出解三次方程的是中国的王孝通（约630），他在自己的著作《缉古算经》中提出了要用三次方程解的问题、列出三次方程并给出三次方程的一个正解，但没有方程的列法也没有方程的具体的解法．三次方程的一般解法在文艺复兴的后期才得到解决．
　　三次方程求解的历史过程是非常有趣且富于启发性的．关于这段历史人们有不同的认识，因而有许多不同的表述．本文采用这样一种简单的表述：
　　最先是意大利波伦亚大学的费罗（S．Ferro，l465—1526）大约在1515年给出了

    这类（p、q为正数，以下同此，没有二次项）三次方程的求解方法（注意，不可称为求解公式，因为当时还没有现代式的数学符号，因此费罗给出的只能是文字叙述的求解方法而不可能是现代式的简洁的公式），并传给了他的学生费奥尔（A．M．Fior）．
　　另一位意大利数学家塔尔塔里亚（N．Tartaglia，约1499－1557）在1530年左右独立得到 类型（没有一次项）的三次方程的求解方法．费奥尔知道后，怀疑别人，认为自己有能力得出三次方程的解法，就向塔尔塔里亚提出挑战，要求就此进行公开辩论．这种公开辩论16－17世纪在意大利学术界非常流行，事先由挑战应战双方约好辩论的内容、方式、地点、评判人及双方出的资金（略带有赌的性质），并对外公布，到时辩论．辩论获胜者不但可得到全部资金，还能够名扬天下，得到各大学的讲学邀请；失败者则名声扫地，有时还会失去教职．塔尔塔里亚迅速应战．1534年2月22日，费奥尔向塔尔塔里亚提出30 个问题，约定1年后进行公开辩论．他的这些问题都是他会解的缺二次项的三次方程，与塔尔塔里亚解过的不同，塔尔塔里亚奋起努力，终于在1535年2月12日得出这类方程的解法．与此同时，塔尔塔里亚也向费奥尔提出30个问题，其中有些问题是缺一次项的三次方程，费奥尔解不出来．塔尔塔里亚大获全胜．
　　此时，意大利的另一名数学家卡尔达诺（G．Cardano，1501—1576）也在研究三次方程，他得知塔尔塔里亚的胜利者的名声，于1539年专程拜访塔尔塔里亚并向其求教．在得到决不泄密的保证后，塔尔塔里亚把他关于缺二次项的三次方程的解法写成一首25行的诗送给卡尔达诺．卡尔达诺做了深入的研究，首先是用几何方法证明了这一解法，然后找出多种类型的三次方程的解法并给出证明，进而提出三次方程的不可约情况——即方程有实数根，但求解时遇到负数开方的问题．这些成果已远超过塔尔塔里亚，在知道费罗、费奥尔等已经得到三次方程的解法并认真落实后，卡尔达诺也许认为没有再保密的必要了，就在自己1545年出版的著作《大术》中公布了他所知的几类三次方程的解法及证明，研究了4项俱全的一般三次方程的求解问题并给出解法，他还对解法的来源做了记载，指出费罗和塔尔塔里亚的工作，还指出塔尔塔里亚曾告诉过自己三次方程的解法．但他违背了承诺的做法仍然激怒了塔尔塔里亚，后者不断出书、写信斥责卡尔达诺．
　　卡尔达诺的学生费拉里（L．Ferrair，1522—1565）为老师鸣不平，与塔尔塔里亚进行了长达两年的互致公开信争辩，后来向塔尔塔里亚提出公开辩论的挑战，1548年6月，塔尔塔里亚决定应战，约定在当年8月 10日在米兰大教堂附近举行公开辩论，请米兰执政官费兰特做评判人．辩论进行了两天，第一天争论无结果，第二天由于塔尔塔里亚拒绝出席而使费拉里获胜．
　　综上所述，三次方程的求解有许多人做了创造性工作，但以卡尔达诺的工作最为深刻，而且他是其中惟一把三次方程解法公布于世的人．后来三次方程求解公式被称为“卡尔达诺公式”，是非常正确的．

    （本文选自《中学数学教学参考》）

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