第五节 一元二次不等式的解法

教学建议

1．教材分析

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

重点是一元二次不等式的解法；

难点是弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系．

①用图象法解一元二次不等式
　　在教材中对一元二次不等式的解集的求法是从一元一次不等式与一元一次方程、一次函数之间关系中引出的，是从函数图象上，结合方程的解得出解集的求法的，所以在讲解一元二次不等式的解法是也是从函数图象出发来讲解的；
　　用图象法来解一元二次不等式涉及知识点较多，需联系前面所学的一元二次方程、二次函数的知识，然而有的学生这些知识并未掌握牢固；再者要深刻挖掘它们之间的联系，从中寻求一元二次不等式的解法。这比单纯数形结合要求的水平更高，何况相对一部分学生不合适用数形结合法。由于对于这部分学生来讲数与形是割裂的，没能真正和谐统一在一起，这是其认识及理解水平造成的。

②认识方程、函数、不等式三者之间的关系
　　在本节中，难点是对一元二次不等式解法的理解与认识，也就是二次函数与二次方程，二次不等式三者之间的关系。
　　二次函数 （ ）是研究自变量 与 之间的对应关系，也就是研究自变量 变化过程中函数 的变化过程及变化趋势，显然方程与不等式的解集是二次函数自变量变化过程中的某种特殊情况，二次方程的解就是自变量变为何值时，函数值 的这一情况；而二次不等式的解集是自变量变化过程中何时函数值 与 的这一情况，二次方程 的解对研究函数变化是十分重要的。由于两根 、 是函数值由正变负或由负变为正的分界点，也是不等式解区间的端点，正是三者之间的相互联系，我们才知道二次函数与二次方程与二次不等式解集的联系。学习过程中，只有搞清三者联系，才能正确认识与理解二次不等式的解法，才能解决由此产生各种变式的问题。

2．教学建议

（1）注意从两个不同角度去解一元二次不等式
　　本节对于可分解的一元二次不等式给出了两种解法。第一种方法是结合该一元二次不等式所对应的二次函数图象给出的，第二种方法是将原不等式转化求与它同解的不等式组的并集去解决，应该向学生说明教材中介绍这两种方法的意图。
　　①第一种方法意在全面讨论，得出一般的一元二次不等式解集，它适用于任何一元二次不等式。
　　②第二种方法意在说明对于形如 的分式不等式，可化为与它同解的一元二次不等式 去解，而后者在前面已经讨论得十分清楚。它是化归思想的集中体现，即化分式不等式为一元二次不等式，化一元二次不等式为一元一次不等式组去解的思想方法。它介绍了一种更为一般的方法，即把二次或二次以上的不等式化为一次或低次不等式的方法，为解较复杂不等式，特别是高次不等式提供了依据。
　　然而真正用这种方法去解一元二次不等式不仅较第一种方法复杂繁琐，并且局限于可因式分解的一元二次不等式，应该向学生突出强调这一点。
　　这种方法重在思想，而并非实用，解题中不宜提倡。因为在全面掌握第一种方法后，再用第二种方法去解题，在某种程度上意味着倒退。

（2）建议对函数的对应值表以低调处理，而突出强调函数图象本身
　　教科书中为了让学生领悟一元一次（或二次）不等式与相应方程、函数间的关系，不仅给出了函数的图象，还给出了函数的对应值表，希望学生结合函数的对应值表，在确定函数图象与 轴交点横坐标的同时，发觉它便是对应方程的根，在得出不等式解集时也借助于对应值表。
　　对于对应值表可以用，尤其是可以用它给学习较差的学生解释随 的变化， 的变化趋势，使学生有牢靠真实的感觉，然而不应过分强调。
　　①因为此处一元二次不等式解集的得出是数形结合法运用的典型范例，除极少数学生外，对于绝大多数学生，必须要求他对于这种方法有深刻的认识与体会，必须牵着他走，让他象当初学习平面几何时识图一样，去识函数的图象，从图象上真正把握其内在本质的性质，自己找出不等式解集所对应的区间，而不是迁就他的认识水平，给他对应值表这根拐仗，那样把他的水平将永远无法提高。
　　②再看此处所给的对应值表与画函数的图象，有一点脱节，在初三，学生已知道一次函烽的图象是一条直线，确定一条直线有两点就足够了，并且为了把握住图象与两轴的相对位置，一般建议学生选取与两轴的交点对于二次函数，学生已学习它的性质，熟知图象的大致形状，对于例题中的二次函数 只要找出相应关键点，即函数的顶点，及与 轴、 轴的交点，就可描点，连线，得出它大致的图象。这些在初中已作过严格的训练，画图象只要关键点把握准即可，我们是利用它来解不等式，并不是要它本身，因而也没有必要精益求精地把图象画得十分精确。

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