第五节 一元二次不等式的解法
例1 解不等式
分析 在不等式的一次项系数中含字母,判别式的符号不能确定,需要讨论来解决.
解:
当 ,即 或 时,
当 ,即 时,
当 ,即 时,
说明 这是较常见的带字母的一元二次不等式,在解题时,注意分类讨论的思想.
例2 解不等式 ( 为参数)
分析 这是一个含有字母的一元二次不等式,在解题时要注意对字母的讨论.
解:原不等式可化为
若 ,则 ,即 ,原不等式的解集为 ;
若 ,即 或 ,则原不等式的解集为 ;
若 ,即 或 ,则原不等式的解集为
因此,当 时,原不等式的解集为 ;当 或 时,原不等式的解集为
说明:此题是带字母问题,要涉及到分类讨论问题。讨论中又涉及到解二次不等式,所用到的知识比较多,条理也要求必须清楚,才能正确解决此题.
例3 已知不等式 的解集为 ,求 、 的值。
分析 此不等式带有两个字母,但不是求解集,而是给出了解集,求字母的值.这就需要逆向思维,根据解集来找相对应的二次方程的解,结合二次函数的图象判断二次项系数的符号等等.
解:方法一:
显然 ,由 ,得 ,变形得 ,所以
方法二:
与 是方程 的两根,
故有 ,解得 (此处注意韦达定理的应用)。
评析:由二次函数 的图象可知,当 时, ,即抛物线的开口向下,且与 轴两交点的横坐标是 和 ,也就是说一元二次方程 的两个根为 , ,因此由方程根与系数的关系可求出 的值。显然,二次不等式的解集是由二次函数结合二次方程求得;反之,也可由二次不等式的解集确定二次函数图象和二次方程的实根,本题的求解过程,正是根据三者之间的内在联系。
例4 不等式 的解是全体实数,求实数 的取值范围。
分析:此题应就所给不等式是一次还是二次进行分类讨论,针对二次的情形应结合二次函数的图象,知此时应有 且 ,特别要强调此时 。
解:若 ,不等式为 ,其解集为
若 ,不等式为 ,其解集显然不是全体实数,故 不符合条件。
若 ,不等式为二次不等式,有
解得
即
综上得,
说明:解含有字母的一元二次不等式要根据字母范围进行讨论,当二次系数含有字母时,应首先考虑其值是否为零。
例5 当 为何值时,关于 的方程 的两根分别在落在0和1,1和2之间.
分析:实系数一元二次方程 若有二实根,则此二根即为二次函数 的图象与 轴的交点的横坐标。如图所示,本题相应的二次函数图象与 轴的交点应位于区间(0,1)和(1,2)内。于是,可由 ,1,2时的函数值的正负情况确定 的范围。
解:设 ,它的图象为开口向上的抛物线,依题意,抛物线与 轴的两个交点分别在区间(0,1)和(1,2)内,如图所示。因此必须满足如下条件:
当 时, ,
当 时, ,
当 时, ,
即
解此不等式组得
所以当 时,方程 的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内。
证明:此题涉及到利用函数图象来判断在特殊值的符号,要让学生注意到在根的两侧的函数值符号相反.
例6 已知 ,且 ,( ),求实数P的取值范围。
解:由 知,关于 的二次方程 无正根。
(1)若方程无实根:
,得 ;
(2)若方程有实根 , ,但无正根;此时由 ,得 或 ,而由韦达定理
由 知两根均为正或均为负,由条件显然须 , ,于是 ,
∴
因此
由上述的(1),(2)得 的取值范围是
注:要注意 的可能性,否则会“缩小”解的范围,特别对于 的存在,初学者往往容易忽略。
例7 解关于 的不等式:
分析:由于字母系数 的影响,不等式可以是一次的,也可以是二次的,在二次的情况下,二次项系数 可正、可负,且对应二次方程的两个根2, 的大小也受 的影响,这些都应予以考虑。
解:当 时,原不等式化为 ,其解集为
当 时,有 ,原不等式化为 ,其解集为
当 时, 。原不等式化为 ,其解集是
当 时,原不等式化为 ,其解集是
当 时,原不等式化为 ,其解集是
说明 对于二次项系数含有字母的不等式,一定要注意对二次项系数讨论,分为一元一次不等式和一元二次不等式两种情况.