第二节 一元二次方程的解法

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配方法在解题中的应用
河北省正定中学 赵建勋

　　配方是数学中的一个重要方法，在解题中有广泛的应用．本文通过例题谈谈它的一些应用．

　　一、应用于因式分解

　　例1 分解因式x⁴＋4．

　　解 配方，得

　　 原式=x⁴＋4x²＋4-4x²＝（x²＋2）²-（2x）²

　　=（x²＋2x＋2）（x²-2x＋2）．

　　例2 分解因式a²-4ab＋3b²-2bc-c²．

　　解 原式=（a²-4ab＋4b²）-（b²+2bc＋c²）

　　 ＝（a-2b）²-（b＋c）²

　　＝（a-b＋c）（a-3b-c）．

　　二、应用于解方程

　　例3 解方程3x²＋4y²-12x-8y＋16=0．

　　解 分别对x、y配方，得

　　3（x²-4x＋4）＋4（y²-2y＋1）=0，

　　3（x-2）²＋4（y-1）²＝0．

　　由非负数的性质，得

　　　　

　　例4 解方程（x²＋2）（y²＋4）（z²＋8）=64xyz（x、y、z均是正实数）．

　　解 原方程变形，得

　　x²y²z²+4x²z²+2y²z²+8z²+8x²y²+32x²+16y²+64-64xyz=0

　　各自配方，得

　　（xyz-8）²＋2（4x-yz）²＋4（2y-xz）²＋8（z-xy）²=0

　　由非负数的性质，得

　　

　　运用配方法可为应用非负数的性质创造条件，解题中应注意掌握．

　　三、应用于求二次函数的最值

　　例5 已知x是实数，求y＝x²-4x+5的最小值

　　解 由配方，得

　　y＝x²-4x＋4-4＋5=（x-2）²＋1

　　∵ x是实数，∴（x-2）²≥0，当x-2=0，即x=2时，y最小，y_最小=1．

　　例6 已知二次函数y=x²-6x＋c的图象的顶点与坐标原点的距离等于5，求c的值．

　　解 因为y＝x²-6x＋c＝x²-6x＋9-9＋c=（x-3）²＋c-9，所以这个二次函数的顶点坐标为（3，c- 9），它与坐标原点的距离是

　　

　　四、应用于求代数式的值

　　 　

　　 　

　　 　

　　 　

　　

　　本题联合应用了倒数法和配方法使问题得解．倒数法是一种解题技巧，解题时注意应用．

　　

　　解 由已知条件，分别对a、b配方，得

　　 （a²-4a＋4）＋（b²-2b＋1）＝0，

　　 （a-2）²＋（b-1）²＝0．

　　 由非负数的性质，得a-2＝0，b-1＝0．

　　 ∴a＝2，b＝1．

　　

　　五、判定几何图形的形状

　　例9 已知 a、b、c是△ABC的三边，且满足a²＋b²＋c²-ab-bc-ca＝0，判定△ABC是正三角形．

　　证明 由已知等式两边乘以2，得

　　2a²＋2b²＋2c²-2ab-2bc-2ca=0，

　　拆项、配方，得

　　（a²-2ab＋b²）＋（b²-2bc＋c²）＋（c²-2ca＋a²）＝0，

　　 （a-b）²＋（b-c）²+（c-a）²＝0．

　　由实数的性质，得

　　a-b=0，b-c=0，c-a=0，

　　 ∴a＝b，b＝c，c＝a，a=b=c．

　　 故△ABC是等边三角形．