第二节 一元二次方程的解法
典型例题6-10
例6 用因式分解法解下列方程。
解: 移项得:
把方程左边因式分解
得:
∴ 或
∴
点拨: 在用因式分解法解一元二次方程时,一定要注意,把方程整理为一般式,如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积,而右边为零时,则可令每一个一次因式都为零,得到两个一元一次方程,解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。
例7 用因式分解法解下列方程
解:把方程左边因式分解为:
∴ 或
∴
点拨: 对于无理数系数的一元二次方程,若左边可分解为一次因式积的形式,均可用因式分解法求出方程的解。
例8 解下列方程:
(1) ; (2) ;
(3) ; (4)
(5) (用配方法)
解:(1)移项,得
,
方程两边都除以2,得
,
解这个方程,得
,
,
即
,
(2)展开,整理,得
方程可变形为
或 ,
∴
(3)展开,整理,得
,
方程可变形为
或
∴
(4)∵ ,
∴
∴ ,
(5)移项,得
,
方程各项都除以3,得
配方,得
,
解这个方程,得
,
即
,
点拨:当一元二次方程本身特征不明显时,需先将方程化为一般形式 ( ),若 ,a、c异号时,可用直接开平方法求解,如(l)题.若 , , 时,可用因式分解法求解,如(2)题.若a、b、c均不为零,有的可用因式分解法求解,如(3)题;有的可用公式法求解,如(4)题.配方法做为一种重要的数学方法也应掌握,如(5)题.
而有些一元二次方程有较明显特征时,不一定都要化成一般形式,如方程 可用直接开平方法或因式分解法求解.又如方程 也不必展开整理成一般形式,因为方程两边都有,移项后提取公因式,得 ,用因式分解法求解,得 ,对于这样的方程,一定注意不能把方程两边都除以 ,这会丢掉一个根 .也就是方程两边不能除以含有未知数的整式.
例9 解关于 的方程 ( )
解法一:原方程可变形为
或
∵ ,
∴
解法二:∵ , , ,
,
又 ,
∴
∴
点拔 解字母系数方程时,除了要分清已知数和未知数,还要注意题目中给出的条件,要根据条件说明方程两边除以的代数式的值不等于零.
对于字母系数的一元二次方程同样可以有几种不同的解法,也要根据题目的特点选用较简单的解法,本题的解法一显然比解法二要简单.
例10 已知 ,试解关于 的方程
分析 由 ,容易得到 或 .整理关干x的方程,得 .题目中没有指明这个方程是一元二次方程,因此对二次项系数要进行讨论,当 时,方程是一元一次方程;当 时,方程是一元二次方程。
解:由 ,得
,
∴
整理 ,得
当 时,原方程为 ,
解得
当 时,原方程为 ,
解得
∴ 当 时,
当 时,
典型例题1-5
例1 用直接开平方法解下列方程
分析 用直接开平方法解方程,要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式,右边是非负常数的形式,再根据平方根的定义求解.
解:移项得:
将方程各项都除以4
得:
∵ 是64的平方根
∴
∴
例2 用直接开平方法解下列方程。
解:
∴ ,
点拨:对于无理数系数的一元二次方程解法同有理数一样,只不过应注意二次根式的化简。
例3 用配方法解方程
解: 移项得:
配方得:
解这个方程
∴ ,
点拨: 配方法是解一元二次方程的重要方法,是导出求根公式的关键.熟练掌握完全平方式是用配方法解题的基础. 对于二次项系数是1的方程, 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可完成配方.
例4 用配方法解方程:
分析 因为二次项系数不为1, 所以要先将方程各项同时除以二次项系数后,再配方.
解:方程两边同除以3
得
方程两边同时加上一次项系数一半的平方
∴
∴
∴
点拨: “方程两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方”这一步,是配方法的关键, “将二次项系数化为1” 是进行这一关键步骤的重要前提.
例1 用公式法解方程
解:移项得:
∵
∴
∴
∴ ,
例5 用公式法解方程
移项得:
∵
∴
∴
∴
点拨:用公式法解一元二次方程的一般步骤:(1)把一元二次方程化成一般式;(2)确定出 , , 的值;(3)求出 的值(或代数式);(4)若 ,则可用求根公式求出方程的解,这样可以减少许多不必要的计算. 另外,求根公式对于任何一个一元二次方程都适用, 其中也包括不完全的一元二次方程.