第二节 椭圆的几何性质

关于椭圆最远点和最近点的证明

　　设 是椭圆 上的一点， 、 分别是椭圆的左右焦点，求证： （ 为椭圆的半焦距）．

　　证明一：运用椭圆的定义及平面几何知识

　　∵ ，

　　∴ ．   ①

　　又∵ ，

　　∴ ．

　　即 ．

　　由①式可得 ，

　　∴ ．

　　当 点在左端点 上时， 是最大值；

　　当 点在右端点 上时， 是最小值．

　　证明二：应用椭圆的第二定义，设椭圆的离心率为 ， 则 ．

　　∵ ．

　　∴当 点在左端点 上时， 是最大值；

　　当 点在右端点 上时， 是最小值．

　　证明三：应用椭圆的参数方程．

　　设 的坐标为 ，则有 （ 为参数）．

焦点 ，



 ．

　　当 ，即 点在左端点 上时， 是最大值；

　　当 ，即 点在右端点 上时， 是最小值．

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