第二节 椭圆的几何性质

　　例1  椭圆的一个顶点为 ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．

　　分析 题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．

　　解：（1）当 为长轴端点时， ， ，

　　椭圆的标准方程为： ；

　　（2）当 为短轴端点时， ， ，

　　椭圆的标准方程为： ；

　　点评：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．

　　例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．

　　解：    ∴ ，

　　∴ ．

　　点评：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求 ，求 ，再求比．二是列含 和 的齐次方程，再化含 的方程，解方程即可．

　　例3  已知中心在原点，焦点在 轴上的椭圆与直线 交于 、 两点， 为 中点， 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

　　解：由题意，设椭圆方程为 ，

　　由 ，得 ，

　　∴ ， ，

 ，∴ ，

　　∴ 为所求．

　　点评：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．

　　例4 椭圆 上不同三点 ， ， 与焦点 的距离成等差数列．

　　（1）求证 ；

　　（2）若线段 的垂直平分线与 轴的交点为 ，求直线 的斜率 ．

　　证明：（1）由椭圆方程知 ， ， ．

　　由圆锥曲线的统一定义知： ，

　　∴   ．

　　同理   ．

　　∵   ，且 ，

　　∴   ，

　　即   ．

　　（2）因为线段 的中点为 ，所以它的垂直平分线方程为

．

　　又∵点 在 轴上，设其坐标为 ，代入上式，得

　　又∵点 ， 都在椭圆上，

　　∴ 

　　　 

　　∴  ．

　　将此式代入①，并利用 的结论得

　　

　　∴  ．

　　例5 已知椭圆 ， 、 为两焦点，问能否在椭圆上找一点 ，使 到左准线 的距离 是 与 的等比中项？若存在，则求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．

　　解：假设 存在，设 ，由已知条件得

 ， ，∴ ， ．

　　∵左准线 的方程是 ，

　　∴ ．

　　又由焦半径公式知：

 ，

 ．

　　∵ ，

　　∴ ．

　　整理得 ．

　　解之得 或 ．                          ①

　　另一方面 ．                               ②

　　则①与②矛盾，所以满足条件的点 不存在．

　　注：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．

　　（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．

　　（3）本例也可设 存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．

　　例6 已知椭圆 ，求过点 且被 平分的弦所在的直线方程．

　　分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为 ，利用条件求 ．

　　解法一：设所求直线的斜率为 ，则直线方程为 ．代入椭圆方程，并整理得

 ．

　　由韦达定理得 ．

　　∵ 是弦中点，∴ ．故得 ．

　　所以所求直线方程为 ．

　　分析二：设弦两端坐标为 、 ，列关于 、 、 、 的方程组，从而求斜率： ．

　　解法二：设过 的直线与椭圆交于 、 ，则由题意得

　　①－②得 ．                ⑤

　　将③、④代入⑤得 ，即直线的斜率为 ．

　　所求直线方程为 ．

　　注：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．

　　（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．

　　（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．

　　例7 求适合条件的椭圆的标准方程．

　　（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点 ；

　　（2）在 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．

　　分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由 求出 ， ，在得方程 后，不能依此写出另一方程 ．

　　解：（1）设椭圆的标准方程为 或 ．

　　由已知 ．                                ①

　　又过点 ，因此有

 或 ．                ②

　　由①、②，得 ， 或 ， ．故所求的方程为

 或 ．

　　（2）设方程为 ．由已知， ， ，所以 ．故所求方程为 ．

　　说明 根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程 或 ．

　　例8 椭圆 的右焦点为 ，过点 ，点 在椭圆上，当 为最小值时，求点 的坐标．

　　分析 本题的关键是求出离心率 ，把 转化为 到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求 均可用此法．

　　解：由已知： ， ．所以 ，右准线 ．

　　过 作 ，垂足为 ，交椭圆于 ，故 ．显然 的最小值为 ，即 为所求点，因此 ，且 在椭圆上．故 ．所以 ．

　　说明：本题关键在于未知式 中的“2”的处理．事实上，如图， ，即 是 到右准线的距离的一半，即图中的 ，问题转化为求椭圆上一点 ，使 到 的距离与到右准线距离之和取最小值．

　　例9 求椭圆 上的点到直线 的距离的最小值．

　　分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．

　　解：椭圆的参数方程为 设椭圆上的点的坐标为 ，则点到直线的距离为

．

　　当 时， ．

　　说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．

　　例10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在 轴上，离心率 ，已知点 到这个椭圆上的点的最远距离是 ，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点 的距离等于 的点的坐标．

　　分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求 的最大值时，要注意讨论 的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．

　　解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是 ，其中 待定．

　　由 可得

 ，即 ．

　　设椭圆上的点 到点 的距离是 ，则



　　　

　　其中 ．

　　如果 ，则当 时， （从而 ）有最大值．

　　由题设得 ，由此得 ，与 矛盾．

　　因此必有 成立，于是当 时， （从而 ）有最大值．

　　由题设得 ，可得 ， ．

　　∴所求椭圆方程是 ．

　　由 及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点 ，点 到点 的距离是 ．

　　解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是 ，其中 ，待定， ， 为参数．

　　由 可得

 ，即 ．

　　设椭圆上的点 到点 的距离为 ，则



　　　

　　　

　　如果 ，即 ，则当 时， （从而 ）有最大值．

　　由题设得 ，由此得 ，与 矛盾，因此必有 成立．

　　于是当 时 （从而 ）有最大值．

　　由题设知 ，∴ ， ．

　　∴所求椭圆的参数方程是 ．

　　由 ， ，可得椭圆上的是 ， ．

　　例11 设 ， ， ，求 的最大值和最小值．

　　分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程 与椭圆方程的结构一致．设 ，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．

　　解：由 ，得

　　可见它表示一个椭圆，其中心在 点，焦点在 轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．

　　设 ，则

　　　　

　　它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为 ．

　　在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即 ，此时 ；当圆过（3，0）点时，半径最大，即 ，∴ ．

　　∴ 的最小值为0，最大值为15．

　　例12 已知椭圆 ， 、 是其长轴的两个端点．

　　（1）过一个焦点 作垂直于长轴的弦 ，求证：不论 、 如何变化， ．

　　（2）如果椭圆上存在一个点 ，使 ，求 的离心率 的取值范围．

　　分析：本题从已知条件出发，两问都应从 和 的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率 满足的不等式，只能是椭圆的固有性质： ， ，根据 得到 ，将 代入，消去 ，用 、 、 表示 ，以便利用 列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．

　　解：（1）设 ， ， ．

　　

　　于是 ， ．

　　∵ 是 到 的角．

　　∴

　　∵

　　∴ _， 故

　　∴ ．

　　（2）设 ，则 ， ．

　　由于对称性，不妨设 ，于是 是 到 的角．

　　∴

　　∵ ，   ∴

　　整理得

　　∵

　　∴

　　∵ ，   ∴

　　∵ ，   ∴ ， ，

　　∴ ，

　　∴ 或 （舍），∴ ．