高三数学（理科）试题

选择题(本题共12小题,每题5分,共60分)

集合
，集合
，全集

，则

A.
B.
C.
D.

2.某几何体的三视图如下图所示, 则该几何体的体积为

A.
B.

C.
D.

3.下列命题中正确的个数是

①命题“任意
”的否定是“任意
；

②命题“若
，则
”的逆否命题是真命题：

③若命题
为真，命题
为真，则命题
且
为真.

④命题”若
，则
”的否命题是“若
，则

”；

A.
个 B.
个

C.
个 D.
个

4.如图，当
时，

A.7 B.8

C.10 D.11

5.为了了解某校今年准备报考飞行员的学生

的体重情况，将所得的数据整理后，画出了

频率分布直方图（如图），已知图中从左到

右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第

1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是

A.36 B.40 C.48 D.50

6.若复数
满足
，
为
的共轭复数，则
的虚部为

A．
B．
C．
D．

7.给出命题：若
是正常数，且
，
，则

(当且仅当
时等号成立)．根据上面命题，可

以得到函数
（
）的最小值及取最小值时的

值分别为

A.
，
B.
，

C.
，
D.
，

8.设等差数列
的公差
，前
项和为
，则
是递减数列的充要条件是

A.
B.

C.
D.

9.学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节课至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有

A.36种 B.30种 C.24种 D.6种

10.如图，在边长为
（
为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为

B．

C．
D．

11.函数
，下列结论不正确的是

A．此函数为偶函数 B．此函数是周期函数

C．此函数既有最大值也有最小值 D．方程
的解为

12.已知函数
的两个极值点分别为
.若
，则
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

填空题（本题共4小题,每题5分,共20分）

13.设曲线
在点
处的切线与直线
垂直，则
_______.

14.设
是第二象限角，
为其终边上的一点，且
，则
___________.

15.若直线
与圆
恒有公共点，则
的取值范围是_______.

16.已知向量
满足
，且对一切实数
，
恒成立，则
与
的夹角大小为___________.

解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分）已知
的三内角
所对的边的长分别为
.设向量
，
，且
.

（1）求
；

（2）若
，求
的面积．

18.（本小题满分12分）已知数列
是公差大于零的等差数列，数列
为等比数列，且
.

（1）求数列
和
的通项公式；

（2）设
，求数列
前
项和
．

19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥
中，

，
，
，

，

分别为
的中点.

（1）证明：
；

（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.

20.（本小题满分12分）已知函数
，
为常数.

（1）若函数
有两个零点
，且
，求
的取值范围；

（2）在（1）的条件下，证明：
的值随
的值增大而增大.

21.（本小题满分12分）已知椭圆
的中心在原点，焦点在
轴上，离心率等于
，它的一个顶点恰好是抛物线
的焦点.

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）直线
与椭圆交于
两点，

是椭圆上位于直线
两恻的动点.

①若直线
的斜率为
，求四边形
面积的最大值；

②当动点
满足
时，试问直线
的斜率是否为定值，请说明理由.

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，
是
的切线，
过圆心
，与
相交于
、
两点，
为
的直径，
与
相交于
、
两点，连结
、
.

(1) 求证：
；

(2) 求证：
.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

直角坐标系
和极坐标系
的原点与极点重合，
轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线
的参数方程为
为参数）.

（1）在极坐标系下，曲线
与射线
和射线
分别交于
两点，求
的面积；

（2）在直角坐标系下，直线
的参数方程为
（
为参数），求曲线
与直线
的交点坐标.

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
,
, 若

恒成立，实数
的最大值为
.

（1）求实数
.

（2）已知实数
满足
且
的最大值是
，求
的值．

数学（理科）答案

选择题(本题共12小题,每题5分,共60分)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

A

B

B

C

A

D

C

B

C

D

A



填空题（本题共4小题,每题5分,共20分）

题号

13

14

15

16



答案











解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.

18.

19.

20.解：（1）
的定义域为
.

，由
得：
；由
得：
.

故
在
上递增，在
上递减。

要使
有两个零点，则
，解得：
.

（2）
是
的两个零点，

，则
，.

设
，
，所以
在
上递增，在
上递减，故对任意
，函数
图像与直线
都有两个交点.横坐标分别为
，且
，如下图：

任取
，设
，则有
，

，由
得：
，

在
上递增，

，同理得：
，所以
，

故
的值随
的值增大而增大.

21.

22.

23.

24.

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