南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试

数 学 2016.03

注意事项：

1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．

2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．

参考公式：

锥体的体积公式：V＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

1．设集合A＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|－1＜x＜1}，则A∪B＝．

2．若复数z＝(1＋mi)(2－i)(i是虚数单位)是纯虚数，则实数m的值为 ▲ ．

3．将一骰子连续抛掷两次，至少有一次向上的点数为1的概率是 ▲ ．

4．如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．若

一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为．

5．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为 ▲ ．

6．设公差不为0的等差数列{a}的前n项和为Sn．若S3＝a，且S1，S2，S4成等比数列，则a10等于 ▲ ．

7．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝4，AA1＝6．若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥A—A1EF的体积是．

8．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的最小正周期为π，且它的图象过点(－，－)，则φ的值为．

9．已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥－1的解集是．

10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px(p＞0) 的焦点为F，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别与抛物线交于A，B两点(A，B异于坐标原点O)．若直线AB恰好过点F，则双曲线的渐近线方程是.

11．在△ABC中，A＝120°，AB＝4．若点D在边BC上，且＝2，AD＝，则AC的长为．

12．已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围为．

13．已知函数f(x)＝ax2＋x－b(a，b均为正数)，不等式f(x)＞0的解集记为P，集合Q＝

{x|－2－t＜x＜－2＋t}．若对于任意正数t，P∩Q≠(，则－的最大值是．

14．若存在两个正实数x、y，使得等式x＋a(y－2ex)(lny－lnx)＝0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为．

二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）

15．(本小题满分14分)

已知α为锐角，cos(α＋)＝．

（1）求tan(α＋)的值；

（2）求sin(2α＋)的值．

16．(本小题满分14分)

如图，在三棱锥P—ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点．

（1）求证：PB∥平面MNC；

（2）若AC＝BC，求证：PA⊥平面MNC.

17．(本小题满分14分)

如图，某城市有一块半径为1（单位：百米）的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB．问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？

18． (本小题满分16分)

在平面直角坐标系xOy中，点C在椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)上．若点A(－a，0)，B(0，)，且＝．

（1）求椭圆M的离心率；

（2）设椭圆M的焦距为4，P，Q是椭圆M上不同的两点，线段PQ的垂直平分线为直线l，且直线l不与y轴重合．

①若点P(－3，0)，直线l过点(0，－)，求直线l的方程；

②若直线l过点(0，－1) ，且与x轴的交点为D，求D点横坐标的取值范围．

19．(本小题满分16分)

对于函数f(x)，在给定区间[a，b]内任取n＋1(n≥2，n∈N*)个数x0，x1，x2，…，xn，使得

a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝b，记S＝|f(xi＋1)－f(xi)|．若存在与n及xi(i≤n，i∈N)均无关的正数A，使得S≤A恒成立，则称f(x)在区间[a，b]上具有性质V．

（1）若函数f(x)＝－2x＋1，给定区间为[－1，1]，求S的值；

（2）若函数f(x)＝，给定区间为[0，2]，求S的最大值；

（3）对于给定的实数k，求证：函数f(x)＝klnx－x2 在区间[1，e]上具有性质V．

20．(本小题满分16分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n都有an＝(－1)nSn ＋pn(p为常数，p≠0)．

（1）求p的值；

（2）求数列{an}的通项公式；

（3）设集合An＝{a2n－1，a2n}，且bn，cnAn，记数列{nbn}，{ncn}的前n项和分别为Pn，Qn．

若b1≠c1，求证：对任意n∈N*，Pn≠Qn．

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数学附加题 2016.03

注意事项：

1．附加题供选修物理的考生使用．

2．本试卷共40分，考试时间30分钟．

3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4—1：几何证明选讲

如图，在Rt△ABC中，AB＝BC．以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE(BC，垂足为E，连接AE交⊙O于点F．求证：BE(CE＝EF(EA．

B．选修4—2：矩阵与变换

已知a，b是实数，如果矩阵A＝ 所对应的变换T把点(2，3)变成点(3，4)．

（1）求a，b的值．

（2）若矩阵A的逆矩阵为B，求B2．

C．选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为ρsin(－θ)=，椭圆C的参数方程为(t为参数) ．

（1）求直线l的直角坐标方程与椭圆C的普通方程；

（2）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求线段AB的长．

D．选修4—5：不等式选讲

解不等式：|x－2|＋x|x＋2|＞2

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出

文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

甲、乙两人投篮命中的概率分别为与，各自相互独立．现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．

（1）求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；

（2）设ξ表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E(ξ)．

23．（本小题满分10分）

设(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，n∈N*，n≥2．

（1）设n＝11，求|a6|＋|a7|＋|a8|＋|a9|＋|a10|＋|a11|的值；

（2）设bk＝ak＋1(k∈N，k≤n－1)，Sm＝b0＋b1＋b2＋…＋bm(m∈N，m≤n－1)，求||

的值．

南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试

数学参考答案

说明：

1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，填空题不给中间分数．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

1． {x|－2＜x＜1} 2．－2 3． 4． 9 5． 5 6． 19 7． 8

8．－ 9． [－4，2] 10．y＝±2x 11．3 12． [2－，2＋]

13．  14．a＜0或a≥

二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）

15．(本小题满分14分)

解：（1）因为α∈(0，），所以α＋∈(，)，

所以sin(α＋)＝＝，……………………………………………………………3分

所以tan(α＋)＝＝2．………………………………………………………………………6分

（2）因为sin(2α＋)＝sin[2(α＋)]＝2 sin(α＋) cos(α＋)＝，…………………………………9分

cos(2α＋)＝cos[2(α＋)]＝2 cos2(α＋)－1＝－，………………………………………………12分

所以sin(2α＋)＝sin[(2α＋)－]＝sin(2α＋)cos－cos(2α＋)sin＝．………………14分

16．(本小题满分14分)

证：（1）因为M，N分别为AB，PA的中点，

所以MN∥PB． …………………………………2分

因为MN(平面MNC，PB(平面MNC，

所以PB∥平面MNC. ……………………………………4分

（2）因为PA⊥PB，MN∥PB，所以PA⊥MN. ……………6分

因为AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB. ……………8分

因为平面PAB⊥平面ABC，CM(平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，

所以CM⊥平面PAB． …………………………………12分

因为PA(平面PAB，所以CM⊥PA．

因为PA⊥MN，MN(平面MNC，CM(平面MNC，MN∩CM＝M，

所以PA⊥平面MNC. ……………………………………………………………………14分

17．(本小题满分14分)

解法一：如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy．

设A(a，0)，B(0，b)(0＜a＜1，0＜b＜1)，

则直线AB方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0．

因为AB与圆C相切，所以＝1．……………4分

化简得 ab－2(a＋b)＋2＝0，即ab＝2(a＋b)－2．

……………6分

因此AB＝＝＝

＝．

………………8分

因为0＜a＜1，0＜b＜1，所以0＜a＋b＜2，

于是AB＝2－(a＋b)．

又ab＝2(a＋b)－2≤()2，

解得0＜a＋b≤4－2，或a＋b≥4＋2．

因为0＜a＋b＜2，所以0＜a＋b≤4－2，………………………………………12分

所以AB＝2－(a＋b) ≥2－(4－2)＝2－2，

当且仅当a＝b＝2-时取等号，

所以AB最小值为2－2，此时a＝b＝2-．

答：当A，B两点离道路的交点都为2－(百米)时，小道AB最短．……………14分

解法二：如图，连接CE，CA，CD，CB，CF．

设∠DCE＝θ，θ∈(0，)，则∠DCF＝－θ．

在直角三角形CDA中，AD＝tan．………………4分

在直角三角形CDB中，BD＝tan(－)，………6分

所以AB＝AD＋BD＝tan＋tan(－)

＝tan＋．………………………8分

令t＝tan，0＜t＜1，

则AB＝f(t)＝t＋＝＝t＋1＋－2≥2－2，

当且仅当t＝－1时取等号．………………………12分

所以AB最小值为2－2，

此时A，B两点离两条道路交点的距离是1－(－1)＝2－．

答：当A，B两点离道路的的交点都为2－(百米)时，小道AB最短．……………14分

18．(本小题满分16分)

解：（1）设C (x0，y0)，则＝(a，)，＝(x0，y0－)．

因为＝，所以(a，)＝(x0，y0－)＝(x0，y0－)，

得 ………………………………………………………2分

代入椭圆方程得a2＝b2．

因为a2－b2＝c2，所以e＝＝．………………………………………4分

（2）①因为c＝2，所以a2＝9，b2＝5，所以椭圆的方程为＋＝1，

设Q (x0，y0)，则＋＝1．……① ………………………………………………6分

因为点P(－3，0)，所以PQ中点为(，)，

因为直线l过点(0，－)，直线l不与y轴重合，所以x0≠3，

所以·＝－1， ………………………………………………8分

化简得x02＝9－y02－y0．……②

将②代入①化简得y02－y0＝0，解得y0＝0（舍），或y0＝．

将y0＝代入①得x0＝±，所以Q为(±，)，

所以PQ斜率为1或，直线l的斜率为－1或－，

所以直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x＋．……………………………………………10分

②设PQ：y＝kx+m，则直线l的方程为：y＝－x－1，所以xD＝－k．

将直线PQ的方程代入椭圆的方程，消去y得(5＋9k2)x2＋18kmx＋9m2－45＝0．…………①，

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，中点为N，

xN＝＝－，代入直线PQ的方程得yN＝，……………………………………12分

代入直线l的方程得9k2＝4m－5． ……②

又因为△＝(18km)2－4(5＋9k2) (9m2－45)＞0，

化得m2－9k2－5＜0． ………………………………………………14分

将②代入上式得m2－4m＜0，解得0＜m＜4，

所以－＜k＜，且k≠0，所以xD＝－k∈(－，0)∪(0，)．

综上所述，点D横坐标的取值范围为(－，0)∪(0，)．………………………………16分

19．(本小题满分16分)

（1）解：因为函数f(x)＝－2x＋1在区间[－1，1]为减函数，

所以f(xi＋1)＜f(xi)，所以|f(xi＋1)－f(xi)|＝ f(xi)－f(xi＋1)．

S＝|f(xi＋1)－f(xi)|＝[ f(x0)－f(x1)]+[ f(x1)－f(x2)]+…+[ f(xn-1)－f(xn)]

＝f(x0)－f(xn)＝f(－1)－f(1)＝4． …………………………………………2分

(2) 解：由f′(x)＝＝0，得x＝1．

当x＜1时，f′(x)＞0，所以f (x)在(－∞，1)为增函数；

当x＞1时，f′(x)＜0，所以f (x)在(1，＋∞)为减函数；

所以f (x)在x＝1时取极大值． …………………………………………4分

设xm≤1＜xm＋1，m∈N，m≤n－1，

则S＝|f(xi＋1)－f(xi)|

＝|f(x1)－f(0)|＋…＋|f(xm)－f(x m－1)|＋|f(xm＋1)－f(x m)|＋|f(xm＋2)－f(x m＋1)|＋…＋|f(2)－f(x n－1)|

＝[f(x1)－f(0)]＋…＋[f(xm)－f(x m－1)]＋|f(xm＋1)－f(x m)|＋[f(xm＋1)－f(x m＋2)]＋…＋[f(xn－1)－f(2)]

＝[f(xm)－f(0)]＋|f(xm＋1)－f(x m)|＋[f(xm＋1)－f(2)]． …………………………………………6分

因为|f(xm＋1)－f(x m)|≤[f(1)－f(xm)]＋[f(1)－f(xm＋1)]，当x m＝1时取等号，

所以S≤f(xm)－f(0)＋f(1)－f(xm)＋f(1)－f(xm＋1)＋f(xm＋1)－f(2)

＝2 f(1)－f(0)－f(2)＝