第三次月考数学文试题

数学试题（文史类）满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的

（1）如果直线
与直线
平行，则实数
=

（A）
　 （B）
（C）
　 （D）

（2）命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆否命题是

（A）“若一个数是负数，则它的平方不是正数”

（B）“若一个数的平方是正数，则它是负数”

（C）“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”

（D）“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

（3）已知平面向量
,且
,则实数
的值为

（A）
（B）
（C）
（D）

（4）函数
的定义域为

（A）
（B）
（C）
（D）

（5）已知
为等差数列，
，则
等于

（A）
（B）
（C）
（D）

（6）若
且
,则
最小值是

（A）
（B）
（C）
（D）

（7）如图为一个四棱锥的正视图、侧（左）视图和俯视图，则该四棱锥的表面积为

（A）
（B）
（C）
（D）

（8）如果圆
上总存在两个点到原点的距离为
，则实数
的取值范围是

（A）
（B）
（C）
（D）

（9）设定义在
的函数
的导函数为
，且满足
。若
满足
，则
的大小关系是

（A）
（B）
（C）
（D）

（10）已知椭圆
的右焦点是
，上顶点是
，点
满足

(
为坐标原点)，且
，则椭圆
的离心率为

（A）
（B）
（C）
（D）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应的位置上

（11）已知
是虚数单位，则复数
________.

（12）圆
关于
对称的圆的方程是________.

（13）已知点
，动点
满足
成等差数列，则点
的轨迹方程是________.

（14）己知
,则
_______.

（15）设数列
的前
项和为
，
，

，
，若对任意
，
恒成立，则
的取值范围为________.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

（16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）

在等差数列
中,
为其前
项和,且
.

（I）求数列
的通项
；

（II）设数列
，求数列
的前
项和
.

（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）

已知直线
和圆
相切.

（I）求圆
的方程；

（II）若直线
垂直于
，且
被圆
截得的弦
的长是
，求直线
的方程.

（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）

在
分别是角
的对边,满足
.

（I）求角
的大小；

（II）设函数
，且函数
的最小正周期为
，求函数
在区间
上的最大值和最小值.

（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）

已知斜三棱柱
中,四边形
为菱形，
，
,点
为
的中点,
平面
．

（Ⅰ）求证:
；

（Ⅱ）设直线
与
分别交于点
，求三棱锥
的体积．

（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）

已知函数
.

（Ⅰ）若函数
在
上单调递增，求
的取值范围；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设函数
，求
的最小值.

（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问3分，（Ⅱ）小问4分，（Ⅲ）小问5分）

如图，已知椭圆
的离心率为
，以椭圆
的左顶点
为圆心作圆
，设圆
与椭圆
交于点
与点
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）求
的最小值，并求此时圆
的方程；

（Ⅲ）设点
是椭圆
上异于
上任意一点，且直线
分别与
轴交于点
，
为坐标原点，求证：
为定值.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

D

A

C

C

A

B

C

D

D



二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应的位置上

题号

11

12

13

14

15



答案













三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

（16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）

【解】(Ⅰ)由已知得
解得
∴

(Ⅱ)依题意有：

于是：
（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）

【解】（I）依题意有：圆心到直线
的距离即为半径，于是

故所求圆
的方程为：

（II）依题意可设直线
方程为：

由于弦长
，于是根据勾股定理，圆心到直线
的距离为

于是：
，解得：
，综上：直线
的方程为

（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）

【解】（I）由正弦定理可得：

于是：
，即
，

即
，而
，所以
，

（II）依题意的：

因为周期
，所以
，于是

由于
，所以

结合函数图像可得：
．

（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）

【解】（Ⅰ）一方面，因为
平面
，
平面

所以
，又因为
，所以
平面
，从而

①

另一方面，因为四边形
为菱形，所以

②

由①②可得：
平面
，再加上
平面
，从而

（Ⅱ）因为
是线段
的中点，所以
，从而
，即

于是：

而
，

所以：

（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）

【解】（Ⅰ）求导得：
，依题意有：
恒成立

即
恒成立，于是
，解得：

（Ⅱ）求导得：
，由于
，所以
，即

即
，由（Ⅰ）可知：
，于是

①当
即
时，
，即
，

此时函数
在
上单调递增，所以

②当
即
时，

令
，即
，解得
，

此时函数
在
上单调递减，在
上单调递增

所以

综上所述：当
时，
；当
时，

（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问3分，（Ⅱ）小问4分，（Ⅲ）小问5分）

【解】（Ⅰ）依题意得：
，于是

故椭圆
的方程为

（Ⅱ）易知点
与点
关于
轴对称，设
，不妨设

由于点
在椭圆
上，所以

由已知
，则

所以：

由于
，故当
时，
取得最小值

把
代入
式，得
，故
，又点
在圆
上，代入方程得

故圆
的方程为：

（Ⅲ）设
，则直线
的方程为：

令
得
，同理可得：

故

又点
与点
在椭圆上，故
，代入
式

得：

所以
为定值

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