第I卷 （选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．若复数
是实数，则的值为 （ ）

A．
B．3 C．0 D.

3.已知a，b，c，d为实数，且
，则“
”是“
”的 ( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使△APB的最大边是AB”发生的概率

为
,则
= （　　）

A．
B．
C．
D．

5．已知变量x，y满足
的最大值为 （ ）

A．5 B．6 C．7 D．8

6．数列
中，
如果数列
是等差数列，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

7．双曲线
的离心率为
,则它的渐近线方程是 （ ）

A．
B．
C．
D．

8．函数
的图象大致为 （ ）

9．某客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为：不超过25kg按0.5元/kg收费，超过25kg的部分按0.8元/kg收费，计算收费的程序框图如右图所示，则①②处应填()

A．

B．

C．

D．

10.若函数
满足
，且

时
，函数
,

则函数
在区间[
， 4]内的零点的个数为 ( )

A．7 B．8 C．9 D．10

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分,共25分。)

11．已知向量
且
则
的值是_________.

12．过抛物线
的焦点，且被圆
截得弦最长的直线的

方程是_______________。

13.已知函数
若f(x)在（-∞,+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为 .

14.一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积

（单位：cm2）为 .

15.下面有五个命题：

①函数
的最小正周期是；

②终边在轴上的角的集合是
；

③在同一坐标系中，函数
的图象和函数
的图象有三个公共点；

④若
；

⑤函数
上是减函数.

其中真命题的序号是__________（写出所有真命题的编号）

三、解答题：本大题共6小题，共75分.

16.（本小题满分12分）2014年“五一”期间，高速公路车辆较多。某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔
辆就抽取一辆的抽样方法抽取
名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（
）分成六段：

后得到如图所示的频率分布直方图．

（I）求这
辆小型车辆车速的众数及平均车速.

（II）若从车速在
的车辆中任抽取辆，

求车速在
的车辆至少有一辆的概率.

17.（本小题满分12分）已知函数
.

（I）求函数
的周期及单调递增区间；

（II）在
中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数
的图象经过点
成等差数列，且
，求a的值.

18.（本小题满分12分）如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱
中，
点是
的中点.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求证：
平面
；

（Ⅲ）求三棱锥
的体积.

19.（本小题满分12分）已知数列
的前项和为
，

对一切正整数，点
都在函数

的图象上，且过点
的切线的斜率为
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式．

（Ⅱ）若
，求数列
的前项和
．

20．（本小题满分13分）

已知椭圆

的离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切．

（I）求椭圆
的方程；

（II）若过点
（2，0）的直线与椭圆
相交于两点
，设为椭圆上一点，且满足
（O为坐标原点），当
＜
时，求实数的取值范围．

21．（本小题满分14分）已知a>0，函数
。

（Ⅰ）若函数
在x=l处的切线与直线y-3x=0平行，求a的值；

（Ⅱ）求函数
的单调递增区间：

（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意x∈[l，2]，
恒成立，求实数b的取值组成的集合．

临沂一中2015届高三下学期阶段性考试（一）

数学（文）参考答案

一、BAADC, AADCA

16．解：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于
…………2分

这
辆小型车辆的平均车速为：

（
）……5分

（2）从图中可知，车速在
的车辆数为：
（辆）…………6分

车速在
的车辆数为：
（辆）…………………………7分

设车速在
的车辆设为
，车速在
的车辆设为
，则所有基本事件有：
共15种…………9分

其中车速在
的车辆至少有一辆的事件有：

共14种 …………………11分

所以，车速在
的车辆至少有一辆的概率为
. ……………………………12分

18.解：（1）证明：在
中，

为
，
…1分

又
底面
，
底面
，
………2分

平面

平面
，……3分

而
平面
，
……4分

（2）设
交
于点，连结
直三棱柱

四边形
是平行四边形，
是
的中点………5分

又是
的中点，
……6分

而
平面
，
平面
，…………7分

平面
.…………………………………8分

（3）连结
，过点作
，垂足为.

在
中，
………9分

又直三棱柱
平面
平面
，而

平面
平面
平面

平面
，即
是三棱锥
的高，………………11分

又

…………12分

19、解：（1）点
都在函数
的图像上，
,

当
时，

当ｎ＝1时，
满足上式，所以数列
的通项公式为
……5分

（2）由
求导可得

过点
的切线的斜率为
，
.
.

①

由①×4，得
②

①-②得：

…………………………………………12分

20．解：（1）由题意知
， 所以
．即
．．． 2分

又因为
，所以
，
．

故椭圆
的方程为
．．．．．4分

（2）由题意知直线
的斜率存在.

设
：
，
，
，
，

由
得
.

，
.

，
.．．．．．．．．．．6分

∵
，∴
，
，

.

∵点在椭圆上， ∴
，

∴
．．．．．．．．．．8分

∵
＜
，

∴
， ∴

∴
，

∴
，∴
.．．．．．．10分

∴
，∵
，

∴
，

∴
或
，

∴实数取值范围为
. 13分

21解：（1）

由已知
即
解得
．…（2分）

又因为a＞0，所以
．…（3分）
因此在区间[1，2]上f（x）的最小值只能在x=1处取到．…（10分）又f(1)＝
?
＝?5，…（11分）若要保证对任意x∈[1，2]，f（x）-b2-6b≥0恒成立，应该有-5≥b2+6b，即b2+6b+5≤0，解得-5≤b≤-1，…（13分）因此实数b的取值组成的集合是{b|-5≤b≤-1}．…（14分）