天水一中2015届高考全仿真考试试题数 学 (理科）

一.选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）

1设全集为R, 函数
的定义域为M, 则
为( ) 　　

A．(-∞,1) B．(1, + ∞) C．
D．

2.若复数
（i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a等于（　　）

　 A． 1 B． ﹣1 C．
D．

3.函数
的图象大致是 ( )

　

B． C． D．

4.下列说法：

①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；

②设有一个回归方程
，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；

③线性回归直线方程
必过
；

④在一个2×2列联表中，由计算得K2=13.079，则有99%的把握确认这两个变量间有关系；

其中错误的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3

5.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是(　　)

A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n?α，则m⊥n

C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α

6．一个大风车的半径为8m，12min旋转一周，它的最低点
离地面2m，

风车翼片的一个端点P从Po开始按逆时针方向旋转，则点P离地面距离

h(m)与时间t(min)之间的函数关系式是（ ）

A．
B．

C．
D．

7.设函数
. 若实数a, b满足
, 则( )

A．
B．

C．
D．

8．执行如右图所示的程序框图,输出的S值为（ ）

A．1 B．
C．
D．

9.已知抛物线
上存在关于直线
对称的相异两点
，则
等于( )．3 ．4
．
．

10.在平面直角坐标平面上，
，且
与
在直线
上的射影长度相等，直线
的倾斜角为锐角，则
的斜率为 ( )

A．
B．
C．
D．

11.已知双曲线
的左，右焦点分别为
，点P在双曲线的右支上，且
，则此双曲线的离心率e的最大值为( )

．
．

．
．

12.将边长为2的等边
沿轴正方向滚动，某时刻与坐标原点重合（如图），设顶点
的轨迹方程是
，关于函数
的有下列说法：

①
的值域为
；②
是周期函数；

③
；④
，其中正确的个数是（ ）

A.0 B.1 C.2 D.3

二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）

13. 若x，y满足且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为

14.已知
的展开式中
的系数是－35，

则
＝

15．四棱锥
的三视图如图所示,四棱锥
的五个顶

点都在一个球面上，、分别是棱
、
的中点，直线
被球

面所截得的线段长为
，则该球表面积为 ．

已知
的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若
的取值范围是 。

解答题（共70分）

17.（本题满分12分）已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.

(1)令cn＝，求数列{cn}的通项公式；

(2)若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.

18、（本题满分12分）某公司从大学招收毕业生，经过

综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业

生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分）．公司规定：

成绩在180分以上者到甲部门工作，180分以下者到乙

部门工作，另外只有成绩高于180分的男生才能担任助理工作．

（1）如果用分层抽样的方法从甲部门人选和乙部门人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是甲部门人选的概率是多少？

（2）若从所有甲部门人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任助理工作的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望．

19．（本题满分12分） 如图，在直三棱柱
（侧棱和底面垂直的棱柱）中，平面
侧面
，
,线段AC、A1B上分别有一点E、F且满足
．

（1）求证：
；（2）求点
的距离；

（3）求二面角
的平面角的余弦值。

20、（本题满分12分）已知椭圆C：

的离心率为
，
是椭圆的两个焦点，是椭圆上任意一

点，且
的周长是
．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设圆T：
，过椭圆的上顶点作圆T的两条切线交椭圆于E、F两点，当圆心在轴上移动且
时，求EF的斜率的取值范围．

21．（本题满分12分）已知函数f (x)＝ex－ax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.

(1)求a的值及函数f(x)的极值；

(2)证明：当x>0时，x2

(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2

选考题：本小题满分10分，请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分

22、（10分）如图，已知
和
相交于
两点，
为

的直径，直线
交
于点
，点
为
的中点，连接
分

别交
，
于点
，连接
。

（1）求证：
； （2）求证：
。

23、（10分） 已知曲线
的极坐标方程为
，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立

平面直角坐标系，设直线
的参数方程为
（为参数）。

（1）求曲线
的直角坐标方程与直线
的普通方程；

（2）设曲线
与直线
相交于
两点，以
为一条边作曲线
的内接矩形，求该矩形的面积。

24、（10分） 设函数
。

（1）当
时，求函数
的定义域；

（2）若函数
的定义域为，试求的取值范围。

数学理科

1.B 2.B 3.A 4.C 5.B 6.B 7.A 8.C 9.C 10. C

11.D【解析】

试题分析：由定义知
，又已知
，解得
，
，在
中，由余弦定理，得
，要求的最大值，即求
的最小值，当
时，解得
．即的最大值为
.

考点：双曲线的定义，余弦定理，三角函数的最值.

12. D

13. － 14. 1 15．12

16.
【解析】由
知
进而可得
，则有
，所以
（
舍去），又
，故
的取值范围是
。

17．解：(1)因为anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，bn≠0(n∈N*)，所以－＝2，即cn＋1－cn＝2，

所以数列{cn}是以c1＝1为首项，d＝2为公差的等差数列，故cn＝2n－1.

(2)由bn＝3n－1，知an＝(2n－1)3n－1，于是数列{an}的前n项和Sn＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－1)×3n－1，3Sn＝1×31＋3×32＋…＋(2n－3)×3n－1＋(2n－1)×3n，将两式相减得－2Sn＝1＋2×(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)×3n＝－2－(2n－2)×3n，

所以Sn＝(n－1)3n＋1.

18、解：（1）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是
，根据茎叶图，甲部门入选10人，乙部门入选10人，所以选中的甲部门人选有
4人，乙部门人选有
4人。用事件A表示至少有一名甲部门人选被选中，则P(A)=
，因此至少有一人是甲部门人选的概率是
…………6分

(2)依题意，X的取值分别是0，1，2，3

，

，

因此，X的分布列如下：

X

0

1

2

3



P

1/30

3/10

1/2

1/6



………11分

所以X的数学期望
………………12

19，（1）证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作

AD⊥A1B于D，则由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC
侧面A1ABB1=A1B,得

AD⊥平面A1BC,又BC平面A1BC，所以AD⊥BC.

因为三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC.

又AA1
AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1，

又AB侧面A1ABB1，故AB⊥BC. ………4分

（2）由（Ⅰ）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分

别为x轴、y轴、z轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，

B(0,0,0), A(0,3,0), C(3，0，0) ,

有由
，满足
，

所以E(1，2，0), F(0，1，1)

所以
,

所以点
的距离
。 ………8分

（3）
。 …………12分

20、解：（1）由
，可知a=4b，

因为
的周长是
，所以
,

所以a=4,b=1,所求椭圆方程为
…………………………4分

（2）椭圆的上顶点为M(0,1)，设过点M与圆T相切的直线方程为
，

由直线
与T相切可知
，

即

，…………6分

由
得

同理
………8分

……………11分

当1

21解：方法一：(1)由f(x)＝ex－ax，得f ′(x)＝ex－a.

又f ′(0)＝1－a＝－1，得a＝2. 所以f(x)＝ex－2x，f ′(x)＝ex－2.

令f ′(x)＝0，得x＝ln 2.

当xln 2时，f ′(x)>0，f(x)单调递增．

所以当x＝ln 2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4，f(x)无极大值．

(2)证明：令g(x)＝ex－x2，则g′(x)＝ex－2x.

由(1)得，g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＝2－ln 4>0，故g(x)在R上单调递增，又g(0)＝1>0，

所以当x>0时，g(x)>g(0)>0，即x2

(3)证明：①若c≥1，则ex≤cex.又由(2)知，当x>0时，x2

故当x>0时，x2

取x0＝0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2

②若01，要使不等式x2kx2成立．

而要使ex>kx2成立，则只要x>ln(kx2)，只要x>2ln x＋ln k成立．

令h(x)＝x－2ln x－ln k，则h′(x)＝1－＝.

所以当x>2时，h′(x)>0，h(x)在(2，＋∞)内单调递增．

取x0＝16k>16，所以h(x)在(x0，＋∞)内单调递增．

又h(x0)＝16k－2ln(16k)－ln k＝8(k－ln 2)＋3(k－ln k)＋5k，

易知k>ln k，k>ln 2，5k>0，所以h(x0)>0.即存在x0＝，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2

综上，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2

方法二：(1)同方法一．(2)同方法一．

(3)对任意给定的正数c，取x0＝，

由(2)知，当x>0时，ex>x2，所以ex＝e·e>·，

当x>x0时，ex>>＝x2，

因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2

方法三：(1)同方法一．(2)同方