2015届高三5月份仿真模拟考试试卷数学（文科）

时量：120分钟 分值：150分

命卷：长沙县一中 审校：宁乡一中

考生注意：1.本考试分为试题卷和答题卡两部分。

2.考生务必将答案写在答题卡上，写在试题卷上一律无效；

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡中对应位置.

1.已知是虚数单位，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系，运用22列联表进行独立性检验，经计算K2=7．069，则所得到的统计学结论为：有多大把握认为“学生性别与支持该活动有关系” （ ）

P(K
≥k0)

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001



k。

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828





A. 0．1％ B. 1％ C. 99％ D. 99．9％

3. 若
则下列结论中正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 已知
,
的图像与
的图像的两相邻交点间的距离为，要得到
的图像，只须把
的图像（ ）

A. 向右平移
个单位 B. 向右平移
个单位

C. 向左平移
个单位 D. 向左平移
个单位

5.一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．
B．

C．
D．

6.已知命题：对任意
，总有
；命题：
是
的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）

A．
B．
C．
D．

7.右图给出了一个程序框图，其作用是输入的值，输出相应的值，若要使输入的值与输出的值相等，则这样的值有（ ）

A． 1个B．2个 C．3个 D．4个

8. 已知向量
，

，若
，则 满足
的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

9.是双曲线
右支上一点，
分别是左、右焦点，且焦距为
，则
的内切圆圆心的横坐标为（ ）

A．
B． C． D．

10.设
与
是定义在同一区间
上的两个函数，若函数
在
上有两个不同的零点，则称
和
在
上是“关联函数”，区间
称为“关联区间” .若
与
在
上是“关联函数”，则的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.

11.已知集合

，那么
.

12.在极坐标系中，直线

被曲线
所截得的线段长为 .

13.若实数
满足
，则
的取值范围为 .

14.如图，平面内有三个向量
、
、
，其中
与
夹角为
，
与
的夹角为
，且
，
,若
，则
的值为 .

15.在一个数列中，如果对任意
,都有
为常数
，那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知数列
是等积数列，且
，公积为，记
的前项和为
，则：

（1）
.

（2）
.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分12分）

已知
且
.设函数

（1）求函数
的解析式；

（2）若在锐角
中，
，边
，求
周长的最大值.

17．（本小题满分12分）

已知某山区小学有100名四年级学生，将全体四年级学生随机按00～99编号，并且按编号顺序平均分成10组．现要从中抽取10名学生，各组内抽取的编号按依次增加10进行系统抽样.

（1）若抽出的一个号码为22，则此号码所在的组数是多少？据此写出所有被抽出学生的号码；

（2）分别统计这10名学生的数学成绩，获得成绩数据的茎叶图如图所示，从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生， 求被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率．

18. （本小题满分12分）

如图，在三棱柱
中，
侧面
，已知
,
,
,
.

（1）求证：
平面
；

（2）当点为棱
的中点时，求
与平面
所成的角的正弦值.

19. （本小题满分13分）

某学校实验室有浓度为
和
的两种溶液.在使用之前需要重新配制溶液，具体操作方法为取浓度为
和
的两种溶液各
分别装入两个容积都为
的锥形瓶
中，先从瓶中取出
溶液放入瓶中，充分混合后，再从瓶中取出
溶液放入瓶中，再充分混合.以上两次混合过程完成后算完成一次操作.设在完成第次操作后，瓶中溶液浓度为
，瓶中溶液浓度为
.

（1）请计算
，并判定数列
是否为等比数列？若是，求出其通项公式；若不是，请说明理由；

（2）若要使得
两个瓶中的溶液浓度之差小于
，则至少要经过几次？

20. （本小题满分13分）

如图，椭圆的中心在坐标原点，长轴端点为、，右焦点为，且
,
.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的右焦点作直线
、
，直线
与椭圆分别交于点
、，直线
与椭圆分别交于点、
，且
，求四边形
的面积的最小值.

21. （本小题满分13分）

已知函数
在
处取得极值.

（1）求
的解析式；

（2）设是曲线
上除原点外的任意一点，过
的中点且垂直于轴的直线交曲线于点，试问：是否存在这样的点，使得曲线在点处的切线与
平行？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；

（3）设函数
，若对于任意
，总存在
，使得
，求实数的取值范围.

长浏宁三（市）县一中2015年高三五月三模考试参考答案

文科数学

选择题（本大题共10个小题，共50分）

题次

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

C

A

C

A

D

C

C

B

B





二、填空题（本大题共5个小题，共25分）

11.{1，-1} 12.
13.
14. 6 15. 2 ; 4700

三、解析题（本题共6小题，共75分）

16.（本小题12分）

【解析】

（1）因为
，所以
，所以
. ……4分

（2）因为
，所以
，

因为
，所以
. ………………………………………………………6分

又
，由正弦定理知，
，得
，所以
，
，

所以
得周长为
=

. ………………10分

因为
，所以
，则
，

所以
，

所以
周长的最大值为
…………………………………………………12分

17. （本小题12分）

【解析】

（1）由题意，得抽出号码为22的组数为3. …………………………………3分

因为2＋10×(3－1)＝22，所以第1组抽出的号码应该为02，抽出的10名学生的号码依次分别为：02，12，22，32，42，52，62，72，82，92. ………………………6分

（2）从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生，共有如下10种不同的取法：

（73，76），（73，78），（73，79），（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81)，（79，81）. ……………………………………………………9分

其中成绩之和不小于154分的有如下7种：（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81)，（79，81）. ………………………………………………11分

故被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率为：
…………………………………………………………………………………12分

18.（本小题12分）

【解析】

（1）因为
侧面
，故
.在
中，

由余弦定理有：

故有
，所以
.而
且
平面
，

所以
平面
. ………………………………………………………6分

（2）因为点为棱
的中点，

所以
，

则
,又

且

设点
到平面
的 距离为，则由等体积法得：

即

又
,设
与平面
所成的角为，

则
，

故所求的
与平面
所成的角的正弦值为
………………………………12分

19.（本小题13分）

【解析】

（1）
…………………………………3分

20.（本小题13分）

【解析】

（1）设椭圆的方程为
，则由题意知
，又因为
，

即
，所以
.

所以
，故椭圆的方程为
. ………………………………4分

（2）设

则由题意：

即：
=

整理得：

即
，所以
……………………………7分

若直线
中有一条斜率不存在.不妨设
的斜率不存在，则可得
轴，

所以
，

故四边形
的面积
.

②?若直线
的斜率存在，设直线
的方程为：
，

则 由
得：
.

设
，则
.

同理可求得，
，故四边形
的面积：

综上，四边形
的面积的最小值为
…………………………………13分

21.（本小题13分）

【解析】

（1）因为
，所以
.

又
在
处取得极值2，所以
，即
解得
，

经检验满足题意，所以
……………………………………………3分

（2）由（1）得
，假设存在满足条件的点，且
，

则
，又
.

则由
，得
，所以
，因为
，

所以