常德市一中2015届高三第十次月水平考试试卷

数 学（文科）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。每小题只有一个选项符合题意）

1．已知集合
，则
等于（ C ）

A．
B．
C．
D．

2．若复数
是纯虚数，则实数的值为( C )

A．
或 B. C.
D.或

3．“
”是“函数
存在零点”的( A )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

4．某工厂有甲、乙、丙三类产品，其数量之比为
，现要用分层抽样的方法从中抽取
件产品进行质量检测，则乙类产品应抽取的件数为（ B ）

A．
B．
C．
D．

5. 某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为 （ A ）



A．
B．
C．
D．

6．圆
上的点到直线
的距离最大值是( B )

A.2 B.1+
C.
D.1+

7．已知O, A, M,B为平面上四点，且
，实数
，则( B )

A. 点M在线段AB上 B. 点B在线段AM上

C. 点A在线段BM上 D. O, A,M,B一定共线

8．函数
的部分图像如图所示，如果
，且
，则
等于（ D ）

A．
B．
C．
D．1

9．已知函数
，若关于的方程
有两个不同的实根，则实数的取值范围是（ B ）

A.
B.
C.
D.

10. 平面上的点
使关于t的二次方程
的根都是绝对值不超过1的实数，那么这样的点的集合在平面内的区域的形状是（ D ）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在对应题号后的横线上。）

11．已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点，极轴与轴的正半轴重合,且单位相同，曲线
的极坐标方程为
，则该曲线的直角坐标方程为
.

12．函数

的最小值为__ 3 ___．

13．若下框图所给的程序运行结果为S=20，那么判断框中应填入的关于整数k的条件是
。

14．若双曲线
的右焦点与抛物线
的焦点重合，则
6 ．

15．已知数列
的各项均为正整数，对于
，有

（Ⅰ）当
时，
________?；

（Ⅱ）若
是不为的奇数，且
为常数，则
________

答案：（Ⅰ）
；（Ⅱ）

分析（Ⅰ）
，
，因为
是使
为奇数的正整数，而
为奇数，则
，于是
，所以
，
，同理
，
，
…于是发现这个数列是周期数列，且
，所以
；（Ⅱ）若
是奇数，则
为偶数,所以
为奇数，又因为
为常数，于是
，所以
，即
，因为数列
的各项均为正整数，所以当
时
满足题意.

三、解答题（本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

16．（本小题满分12分）

已知数列
的前项和为
，且
.数列
为等比数列，且
，
.

求数列
，
的通项公式；

若数列
满足
，求数列
的前项和
.

??∵数列
的前项和为
，且
，

∴ 当
时，
.???????

当
时，
亦满足上式，

故
?


. ? ?.. ………3分? ? ? ?

又数列
为等比数列，设公比为，

∵
，
，∴
.???????????????

∴?
?


.?????.. ………6分? ? ?????????????

??
???.. ………8分?????????

????? ?

???????
.???????.. ………11分?????????????????????????

所以
.??.. ………12分?

17．（本小题满分12分）答案：
?
；
??

分析：
?记样本中
人的“脚掌长”为
，“身高”为
，

则
. . ………2分

∵
，?
. . ………4分

∴?
∴
?. . ………6分

??将身高为
的人分别记为、、
、，

记“从身高1
以上人中随机抽取人，所抽的人中至少有个身高在
以上”为事件，则基本事件有：
，总数
，?. . ………9分

包含的基本事件有：
，个数
，所以
.?. . ………12分

18．（本小题满分12分）

如图，在直四棱柱
中，底面是
边长为的正方形，
，点在棱
上运动.
证明：
；

若三棱锥
的体积为
时，求异面直线
，
所成的角.

答案：
连接
.∵
是正方形，
. . ………2分

∵四棱柱
是直棱柱，
平面
.

∵
平面
，
. . . ………4分

平面
.

∵
平面
，∴
………6分

∵
，
平面
，

∵
.

，. ………8分

∵
∥
，
为异面直线
，
所成的角. . ………10分

在
中，求得
.

∵
平面
，
.. ………8分

在
中，求得
，
.

所以，异面直线
，
所成的角为
.. ………12分

19．（本小题满分13分）

已知

求
；

求
的值.

答案：

分析：

， .. ………2分

而

∴
，
.. ………6分

，
，
，

∴
，.. ………8分

.. ………10分

∴
.. ………13分

20．（本小题满分13分）

如图所示，椭圆
的离心率
，左焦点为
，右焦点为
，短轴两个端点为
，与轴不垂直的直线
与椭圆
交于不同的两点
，记直线
、
的斜率分别为
、
，且
.

求椭圆
的方程；

求证直线
与轴相交于定点，并求出定点坐标。

答案：
由题意可知：椭圆
的离心率
，
，

，故椭圆
的方程为
.……………5分

设直线
的方程为
，
、
坐标分别为
，

由
得
，

∴
，.……………7分

∵
..……………8分

∴

，.……10分

将韦达定理代入，并整理得
，解得
.

∴直线
与轴相交于定点
.……………13分

21．（本小题满分13分）

设函数

（1）当
时，求
的最大值；

（2）令
，（
），其图象上任意一点
处切线的斜率
≤
恒成立，求实数的取值范围；

（3）当
，
，方程
有唯一实数解，求正数的值．

解：（1）依题意，知
的定义域为（0，+∞），

当
时，
，

（2′）

令
=0，解得
．（∵
）

因为
有唯一解，所以
，当
时，

，此时
单调递增；

当
时，
，此时
单调递减。

所以
的极大值为
，此即为最大值………4分

（2）
，