2015年高三教学测试（二）

理科数学 参考答案

一．选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）

1．C； 2．D； 3．A； 4．C；

5．C； 6．B； 7．A； 8．D．

8．【解析】

设
，
，由条件知二次函数的对称轴不能在y轴的左侧即
，且两个函数的图象在轴上交于同一点，即
，

所以，
在
上有解，从而
.

二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每空3分，第13-15题每空4分，共36分）

9．
，
10．
，
11．
，
12．3，1

13．1 14．4 15．

15．【解析】

设矩形
与所成锐二面角为，

面积记为
，则正方形
与

所成锐二面角为
，面积记为
．

所求阴影面积

，其中
．故
．

三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（本题满分14分）

三角形
中，已知
，其中，角
所对的边分别为
．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）求
的取值范围．

16．【解析】（Ⅰ）由正弦定理得：
，

∴由余弦定理得：
，∴
． …6分

（Ⅱ）由正弦定理得：

又?
，∴
，

∴
，

而
，∴
，

∴
，∴
. …14分

17．（本题满分15分）

如图，在三棱锥
中，
平面
，
，
，、、分别为
、
、
的中点，
、分别为线段
、
上的动点，且有
．

（Ⅰ）求证：
面
；

（Ⅱ）探究：是否存在这样的动点M，使得二面角
为直二面角？若存在，求CM的长度；若不存在，说明理由．

17．【解析】（Ⅰ）∵
平面
，

∴
，

又
，∴
面
；

又∵
，

∴
面
. …6分

（Ⅱ） 由条件可得，
即为二面角
的平面角；

若二面角
为直二面角，则
.

在直角三角形PCA中，设
，则
，

在
中，由余弦定理可得，

；

同理可得，
；

又由
，得
，解得
或
.

∴存在直二面角
，且CM的长度为1或
. …15分

18．（本题满分15分）

设椭圆
的离心率为
，过点
的动直线与椭圆交于
两点，已知当//轴时，
．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）当
时，求直线的方程．

18．【解析】（Ⅰ）由条件：
，∴
，

过点
且平行于轴的直线截椭圆

所得弦长为：
，

∴
，∴椭圆的方程为：
．…6分

（Ⅱ）设
，
，∴
①

（1）若直线l存在斜率，可设l：
，

则由
可得，

∴
，与①联立解得，
；

（2）若直线l不存在斜率，则l：
，

∴
，易知

∴直线的方程为：
． …15分

19．（本题满分15分）

如图，在平面直角坐标系
中，设
，有一组圆心在x轴正半轴上的圆
（
）与x轴的交点分别为
和
．过圆心
作垂直于x轴的直线
，在第一象限与圆
交于点
．

（Ⅰ）试求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设曲边形
（阴影所示）的面积为
，若对任意
，
恒成立，试求实数m的取值范围．

19.【解析】（Ⅰ）由条件可得，

，又因为

，可得数列
是等比数列．

故，
，从而
．…6分

（Ⅱ）因为
，所以
，

所以
，且
，

所以
，所以

．

故可得实数
． …15分

20．（本题满分15分）

已知函数
，
．

（Ⅰ）当
时，函数
在区间
上的最大值为
，试求实数m的取值范围；

（Ⅱ）当
时，若不等式
对任意
（
）恒成立，求实数k的取值范围．

20.【解析】（Ⅰ）∵
，∴
在
上递减，在
上递增，

又∵
在区间
上的最大值为
，

∴
，得
，∴
，即
； …6分

（Ⅱ）∵
∴
恒成立

令
，∴
在
上递增。

对于
，
，

（1）当
时，

①当
时，
在
上递增，所以
符合；

②当
时，
在
上递增，所以
符合；

③当
时，只需
，即

∴
，∴

（2）当
时，

①当
时，
在
上递减，所以
不合；

②当
时，
在
上递减，所以
不合；

③当
时，只需
，
，

∴

综上可知，
． …15分

命题人

沈勤龙、黄海平、刘 舸、吴旻玲

吴明华、张启源、徐连根、沈顺良、李富强、吴林华

2015年3月