2015年2月高三教学质量调研考试数学(文科)

本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共4页．满分150分．考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

注意事项：

1．答题前，考生务必用O.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上．

2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．

4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

参考公式：

锥体的体积公式：
，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高.

第I卷（共50分）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求的.

1.已知i是虚数单位.若复数z满足
，则复数z=

A.
B.
C.
D.

2.设全集为R，集合
，则

A.
B.
C.
D.

3.已知函数
，则
的值为

A.
B.0 C.1 D.2

4.已知为第二象限角，
，则
的值等于

A.
B.
C.
D.

5.已知
，则向量
的夹角为

A.
B.

C.
D.

6.某程序框图如右图所示，当输出y值为
时，则输出x的值为

A.64 B.32

C.16 D.8

7.设
是q的

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分敢不必要条件

8.函数
的大致图象为

9.已知函数
，则函数
的零点所在的区间是

A.
B.
C.
D.

10.已知
是双曲线
的左右两个焦点，过点
与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段
为直径的圆外，则该双曲线离心率的取值范围是

A.
B.
C.
D.

第II卷（共100分）

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.

11.一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为30和0.25，则n等于_________.

12.一个正四棱锥的侧棱长与底面边长相等，体积为
，则它的表面积为________.

13.设实数
满足
，则
的最大值是________.

14.已知直线
和圆
相交于A，B两点，当线段AB最短时直线l的方程为________.

15.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，0），B（0，3），C（3，0），动点D满足
，则
的最小值是__________.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.

16. （本小题满分12分）

某省为了研究雾霾天气的治理，一课题组对省内24个城市进行了空气质量的调查，按地域特点把这些城市分成了甲、乙、丙三组.已知三组城市的个数分别为4，8，12，课题组用分层抽样的方法从中抽取6个城市进行空气质量的调查.

（I）求每组中抽取的城市的个数；

（II）从已抽取的6个城市中任抽两个城市，求两个城市不来自同一组的概率.

17. （本小题满分12分）

已知函数
.

（I）求函数
的最小正周期；

（II）将函数
的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象.在
中，角A，B，C的对边分别为
，若
，求
的面积.

18. （本小题满分12分）

如图，在三棱柱
中，四边形
都为矩形.

（I）设D是AB的中点，证明：直线
平面
;

（II）在
中，若
，证明：直线
平面
.

19. （本小题满分12分）

已知等差数列
的前n项和为
，满足
，
为递增的等比数列，且
是方程
的两个根.

（I）求数列
，
的通项公式；

（II）若数列
满足
，求数列
的前n项和
.

20. （本小题满分13分）

已知椭圆
的离心率
，直线
经过椭圆C的左焦点.

（I）求椭圆C的方程；

（II）若过点
的直线与椭圆C交于A，B两点，设P为椭圆上一点，且满足
（其中O为坐标原点），求实数t的取值范围.

21. （本小题满分14分）

函数
.

（I）函数
在点
处的切线与直线
垂直，求a的值；

（II）讨论函数
的单调性；

（III）不等式
在区间
上恒成立，求实数a的取值范围.

2014届高三教学质量调研考试

文科数学参考答案

一、选择题

BADAC CBABD

二、填空题

11.120 12.
13. 5 14.
15. 4

三、解答题

16. 解：（Ⅰ）设从甲、乙、丙三组城市中应抽取的个数分别为
，

则由题意得

…………………………………3分

解得，
.………………………………………4分

故从甲、乙、丙组中应抽取的城市的个数分别为：1，2，3 . …………………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，从甲、乙、丙组中应抽取的城市的个数分别为为：1，2，3 .

记甲组中已抽取的城市为
，乙组中已抽取的城市为
， 丙组中已抽取的城市为
.………6分

从已抽取的6个城市中任抽两个城市的所有可能为：

,

共15种. ……………………………8分

设“抽取的两个城市不来自同一组”为事件，则事件包括

共11种. …………10分

所以
.即从已抽取的6个城市中任抽两个城市，两个城市不来自同一组的概率为
.……12分

17. 解：（Ⅰ）

…………………4分

所以，函数
的最小正周期为
．…………………………………………5分

（Ⅱ）
------------7分

,--------------------------------------8分

在
中，
，

.

.………………………………12分

18. 证明：（Ⅰ）连接AC1交A1C于点O，连接OD．………………………………2分

四边形
为矩形，
为A1C的中点，D是AB的中点，

OD为△ABC1 的中位线，OD//BC1, ………………………………4分

因为直线OD?平面A1DC，BC1?平面A1DC.

所以直线BC1∥平面A1DC. ………………………………6分

（Ⅱ）因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，

所以AA1⊥AB，AA1⊥AC. ………………………………7分

因为AB，AC为平面ABC内的两条相交直线，

所以AA1⊥平面ABC. ………………………………9分

因为直线BC?平面ABC，所以AA1⊥BC. ………………………………10分

由BC ⊥AC ，BC⊥AA1, AA1，AC为平面ACC1A1内的两条相交直线，

所以BC⊥平面ACC1A1. ………………………………12分

19. 解：（Ⅰ）
，
，…………………………………1分

，
，
，……………………………2分

.…………………………………3分

，解得
或
，因为
为递增数列，所以
，……5分

，

数列
，
的通项公式分别为
.…………6分

（Ⅱ）
.…………………………………………………7分

①，

②,

①-②得

.………………………………11分

.…………………………………………12分

20. 解：（I）直线
与轴交点为
,
…………………………………1分

，
．……………………………3分

故椭圆
的方程为
．…………………………………………………… 4分

（Ⅱ）由题意知直线
的斜率存在.

设
：
，

由
得
.

，
.

设
，
，
，

，
……………………………………………………7分

∵
，∴
，
，

.

∵点在椭圆上，∴
，

∴
…………………………………………………………………11分

，

∴的取值范围是为
. …………………………13分

21. 解：（I）函数
定义域为
,
，……………………………………1分

，由题意
，解得
.……………………4分

（II）
，

令
，
，

（i）当
时，
，
,
，函数f(x) 在
上单调递增；

（ii）当
时，
，
,
函数f(x) 在
上单调递增；

（iii）当
时，
，

在区间
上，
,
，函数f(x)单调递增；在区间
上，
,
，函数f(x)单调递减；在区间
上，
,
，函数f(x)单调递增；

（iv）当
时，

，在区间
上，
，
，函数f(x)单调递增.………………8分

综上所述：当
时，函数f(x)在区间
上是单调递增；

当
时，函数f(x)在区间
上单调递增；在区间
上单调递减；在区间
上单调递增.……………………9分

法二：（i）当
时，
恒成立，函数f(x)在
上单调递增；

，令
，
，

（ii）当
时，

，
，函数f(x)在
上单调递增；

（iii）当
时，
，

在区间
上
，
，函数f(x) 单调递增；在区间
上，
，
，函数f(x)单调递减；在区间
上
，
，函数f(x) 单调递增.………………8分

综上所述：当
时，函数f(x)在区间
上是单调递增；

当
时，函数f(x)在区间
上单调递增；在区间
上单调递减；在区间
上单调递增.……………………9分

法三：因为x>0，
.

（i）当
时，在区间
上
函数f(x) 单调递增；

（ii）当
时，
，

在区间
上，
，函数f(x) 单调递增；在区间
上，