高三第二次质量检测理科数学试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 共 4页．满分150分，考试时间120分钟． 考试结束，将试卷答题卡交上，试题不交回．

第Ⅰ卷 选择题（共50分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号涂写在答题卡上．

2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．

3．第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效．

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集
，集合
和
，则

A．
或
B．

C．
D．

2．已知是虚数单位，若
，则的虚部为

A．
B．
C．
D．

3．设
是两个实数，命题“
中至少有一个数大于”成立的充分不必要条件是

A．
B．

C．
D．

4．已知数列
，若利用如图所示

的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是

A．
　 B．
　　C．
D．

5．已知双曲线
的一条渐近线与直线
垂直，则双曲线的离心率等于

A．
B．
C．
D．

6．定义：
，若函数
， 将其图象向左平移
个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是

A．
B．
C．
D．

7．已知函数
，则
的大致图象是

8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是

A．
B．

C．
D．7

9．若实数
满足的约束条件
，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为
，则函数
在点
处取得最大值的概率为

A．
B．
C．
D．

10．已知M是△ABC内的一点（不含边界），且

若△MBC，△MAB，△MCA的面积分别为
，记
，则
的最小值为

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．已知向量
，其中
，
，且
，则向量和
的夹角是 __________

12．在各项为正数的等比数列
中，若
，则公比

13．采用系统抽样方法从600人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为
，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为003，抽到的50人中，编号落入区间[001，300]的人做问卷A，编号落入区间[301，495]的人做问卷B，编号落入区间[496，60]的人做问卷C,则抽到的人中，做问卷C的人数为 ．

14．已知对于任意的
，不等式
恒成立，则实数a的取值范围是________．

15．已知函数
满足
，且
是偶函数，当
时，
，若在区间
内，函数
有个零点，则实数的取值范围是

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A,B,C的对边分别为
，且

．

（Ⅰ）求cosA的值;

（Ⅱ）若
，
，求向量
在
方向上的投影．

17．（本小题满分12分）

某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响． 已知学生小张只选甲的概率为0．08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88
，用
表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．

（Ⅰ）求学生小张选修甲的概率；

（Ⅱ）记“函数f(x)=x2+
x 为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率；

（Ⅲ）求
的分布列和数学期望；

18．（本小题满分12分）

在如图1所示的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=AD=BC=
CD=a，E为CD中点．若沿AE将三角形DAE折起，使平面DAE⊥平面ABCE，连结DB,DC，得到如图2所示的几何体D-ABCE，在图2中解答以下问题：

（Ⅰ）设F为AB中点，求证：DF⊥AC；

（Ⅱ）求二面角A-BD-C的正弦值．

19．（本小题满分12分）

设
是数列
（
）的前项和，已知
，
，设
．

（Ⅰ）证明：数列
是等比数列，并求数列
的通项公式；

（Ⅱ）令
，求数列
的前项和

20．（本小题满分13分）

已知函数
．

（Ⅰ）当
时，求曲线
在
处的切线方程；

（Ⅱ）设函数
，求函数
的单调区间；

（Ⅲ）若
，在
上存在一点
，使得
成立，求的取值范围．

21．（本小题满分14分）

已知椭圆
的离心率为
，且过点
．抛物线
的焦点坐标为
．

（Ⅰ）求椭圆
和抛物线
的方程；

（Ⅱ）若点M是直线l:
上的动点，过点M作抛

物线C2的两条切线，切点分别为A，B，直线AB交椭

圆C1于P，Q两点．

i）求证直线
过定点，并求出该定点坐标；

ii）当△OPQ的面积取最大值时，求直线AB的方程．

高三第二次质量检测

理科数学参考答案

一、选择题：1-5 CABBC 6-10 BAADC

二、填空题：11．
12．2 13．8 14．
15．

三、解答题：

17．解：（Ⅰ）设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x、y、z；依题意得

解得

所以学生小张选修甲的概率为0．4 …………………………………．4分

(Ⅱ）若函数
为上的偶函数，则
=0

∴事件A的概率为0.24 ………………………………………… 8分

(Ⅲ）依题意知
， 则
的分布列为

∴
的数学期望为
……………………12分

18．证明： （Ⅰ）取AE中点H，连结HF，连结EB，

因为△DAE为等边三角形，所以DH⊥AE ，因为平面DAE⊥平面ABCE，

所以DH⊥平面ABCE，
平面
，

所以AC⊥DH，因为ABCE为平行四边形，CE=BC=a，

所以,ABCE为菱形，AC⊥BE， 因为H、F分别为AE、AB中点，所以GH∥BE，

所以AC⊥HF；因为HF平面DHF，DH平面DHF，且
，

所以AC⊥平面DHF，又DF平面DHF，所以DF⊥AC。………………… 5分

（Ⅱ）连结
由题意得三角形ABE为等边三角形，所以，
，由（Ⅰ）知
底面
，以
为原点，分别以
所在直线为
轴

建立空间直角坐标系，如图所示： ………………………………… 6分

则
，

所以，
，
，设面
的法向量为
，

则
，不妨设
， ………………………… 8分

设面DAB的法向量
，又
，则
，

取
， …………………………………………………………… 10分

所以
，所以二面角
的正弦值为
。…… 12分

19．解： （Ⅰ）因为
,所以
，

即
，则
，

所以
，又
，所以
是首项为，公比为的等比数列。

故数列
的通项公式为
。…………………………… 5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
，………………… 6分

设
………………①

则
……………②……………………8分

①-②得：
，……10分

所以
，所以
。…………12分

20．解：（Ⅰ）当
时，
，
，切点
， ……1分

，
， ……3分

曲线
在点
处的切线方程为：
，即
． ……4分

（Ⅱ）
，定义域为
，

……5分

①当
，即
时，令
，

令
，
……6分

②当
，即
时，
恒成立， ……7分

综上：当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增．

当
时，
在
上单调递增． ……8分

（Ⅲ）由题意可知，在
上存在一点
，使得
成立，

即在
上存在一点
，使得
，

即函数
在
上的最小值
．… …9分

由第（Ⅱ）问，①当
，即
时，
在
上单调递减，

，
，

，
； ……10分

②当
，即
时，
在
上单调递增，

，
……11分

③当
，即
时，

，
，

此时不存在
使
成立． ……12分

综上可得所求的范围是：
或
．………………13分

21．解：（I）由于椭圆
中，
，则设其方程为
，由于点
在椭圆上，故代入得
．故椭圆
的方程为
．对抛物线
中，
，故
，从而椭圆
的方程为
，抛物线
的方程为
．------4分

（II）i)设点
，且满足
，点
，则切线
的斜率为
，从而MA的方程为
，考虑到
，则切线
的方程为
，同理切线
的方程为
，----5分

由于切线MA，MB同过点M，从而有
，由此点
在直线
上．又点M在直线
上，则
，-6分

故直线
的方程为
，即
，显然直线
过定点
．----