德化一中2014年秋季第三次质检高三数学（文）试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1x1}，则A∩B＝(　　)

A．{0} B．{－1,0} C．{0,1} D．{－1,0,1}

2.复数
(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3.命题“?x0∈R，x＋2x0＋20”的否定是(　　)

A．?x0∈R，x＋2x0＋2>0　 B．?x0∈R，x＋2x0＋20

C．?x∈R，x2＋2x＋2>0 D．?x∈R，x2＋2x＋20

4. 对于平面、
和直线、
,若
，则直线、
不可能是( )

相交
平行
异面
垂直

5.下列函数中，在区间(0,＋∞)上为增函数的是(　　)

A．y＝ln(x＋2)　　　　B．y＝－ C．y＝
D．y＝x＋

6. 函数
是 ( )

A.最小正周期为2π的奇函数 B.最小正周期为2π的偶函数

C.最小正周期为π的奇函数 D.最小正周期为π的偶函数

7.函数y＝log5(1－x)的大致图像是(　　)

8．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是( )

A．
B．
C．
D．

9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝1，c＝4，B＝45°，则sinC等于(　　)

A. 　　　　　　B.  C.  D. 

10.设
＝(1,2)，
＝(a,3)，
＝(－b,4)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是(　　)

A．2 B．4 C．4
D．8

11.函数f(x)＝的图像上关于y轴对称的点共有( 　)

A．0对　　　　　　　B．1对 C．2对 D．3对

12．若
，定义运算“
”和“
”如下：

，
若正数
满足：

，则（ ）

A．
　 B．

C．
D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13.直线x＋y＋1＝0的倾斜角是 .

14. 设变量
满足约束条件
，则目标函数
的最大值为 .

15.已知数列
的前项和为
，且
，则
= .

16.如图，半圆的直径AB＝4，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则
·
＋
·
的最小值是 .

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. （本小题满分12分）

已知等差数列{an}的公差d＝1，前n项和为Sn.

（Ⅰ）若1，a1，a3成等比数列，求a1；

（Ⅱ）若S5a1a9，求a1的取值范围．

18.（本小题满分12分）

已知直线
与直线
垂直，且过点
.

（Ⅰ）求直线
的方程；

（Ⅱ）若圆
过点
，且圆心在轴的正半轴上，直线
被该圆所截得的弦长为
，

求圆
的标准方程.

19．（本小题满分12分）

如图，以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若
·
＝0，求sin(α＋β)．

20．（本小题满分12分）

如图，四棱锥
中，
平面
，底面
为正方形，
， 为
的中点，

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）求三棱锥
的体积；

（Ⅲ）
边上是否存在一点
，使得
平面
.若存在，求
的长；若不存在，说明理由.

21．（本小题满分12分）

某玩具厂生产一种儿童智力玩具，每个玩具的材料成本为20元，加工费为t元(t为常数，且2t5)，出厂价为x元(25x40)，根据市场调查知，日销售量q(单位：个)与ex成反比，且当每个玩具的出厂价为30元时，日销售量为100个．

（Ⅰ）求该玩具厂的日利润y元与每个玩具的出厂价x元之间的函数关系式；

（Ⅱ）若t＝5，则每个玩具的出厂价x为多少元时，该工厂的日利润y最大？并求最大值．

22. （本小题满分14分）

已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ex.

（Ⅰ）若函数φ(x)＝f(x)－，求函数φ(x)的单调区间；

（Ⅱ）设直线l为函数f(x)的图像上一点A(x0，f(x0))处的切线．证明：在区间(1，＋∞)上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y＝g(x)相切．

德化一中2014年秋季第三次质检

高三数学（文）参考答案

1—12: BDCAA,CCDBD,DC 13.
14.7 15.4 16.-2

17． (1)因为数列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比数列，所以a＝1×(a1＋2)，

即a－a1－2＝0，解得a1＝－1或a1＝2. ……………………………6分

(2)因为数列{an}的公差d＝1，且S5>a1a9，所以5a1＋10>a＋8a1，

即a＋3a1－10<0，解得－5

18.解：（Ⅰ）∵
与
垂直 ∴

∵
过点
∴
的方程
即
…………4分

（Ⅱ）设圆的标准方程为

解得：
……………………10分

∴圆的标准方程为
…………………………12分

19．解：(1)由三角函数定义得cos α＝－，sin α＝.

∴原式＝＝＝2cos2α＝2·2＝. …………6分

(2)∵
·
＝0，∴α－β＝.∴β＝α－，∴sin β＝sin＝－cos α＝，

cos β＝cos＝sin α＝.

∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝. ……………………………12分

20.(Ⅰ)证明：
平面
，

又∵
是正方形 ∴
∵

∴
平面
……………………………3分

又∵
面
∴
……………………………4分

(Ⅱ)解：∵
平面
，

∴
是三棱锥
的高 ……………………………5分

∵是
的中点

……………………………6分

……………………………8分

(Ⅲ)连结
，取
中点，连结
，延长
交
于点
，

则
//平面
……………………………9分

下面证明之

∵为
的中点，是
的中点，∴
//
， ……………10分

又
∴
//平面
…………………………11分

在正方形
中， ∵是
的中点，

≌

∴所求
的长为
……………………………12分

21．解：(1)设日销量q＝(k≠0)，则由题意得q＝＝100，解得k＝100e30.

∴日销量q＝.∴该玩具厂的日利润y元与每个玩具的出厂价x元之间的函数关系式为y＝ (25≤x≤40)．……………………………6分

(2)当t＝5时，y＝(25≤x≤40)，∴y′＝(25≤x≤40)．

由y′>0，得25≤x<26，由y′<0，得26

∴函数在区间[25,26)上单调递增，在区间(26,40]上单调递减．

∴当x＝26时，函数取得最大值，ymax＝100e4. ……………………………12分

22.解：(1)∵φ(x)＝f(x)－＝ln x－，

∴φ′(x)＝＋＝.∵x>0且x≠1，

∴φ′(x)>0，

∴函数φ(x)的单调递增区间为(0,1)和(1，＋∞)．……………………………4分

(2)证明：∵f′(x)＝，∴f′(x0)＝.∴切线l的方程为y－ln x0＝(x－x0)．

即y＝x＋ln x0－1.①……………………………6分

设直线l与曲线y＝g(x)相切于点(x1，ex1)，

∵g′(x)＝ex，∴ex1＝，∴x1＝－ln x0.

∴直线l的方程为y－＝(x＋ln x0)．

即y＝x＋＋.②……………………………8分

①－②，得ln x0－1＝＋，∴ln x0＝. ……………………………10分

下证：在区间(1，＋∞)上x0存在且唯一．

由(1)可知，φ(x)＝ln x－在区间(1，＋∞)上递增．

又φ(e)＝ln e－＝<0，

φ(e2)＝ln e2－＝>0，

结合零点存在性定理，说明方程φ(x)＝0必在区间(e，e2)上有唯一的根，这个根就是所求的唯一的x0，故结论成立. ……………………………14分