1．若复数(a2－1)＋(a－1)i(i为虚数单位)是纯虚数，则实数a＝(　　)

A．±1　　　　　　B．－1 C．0 D．1

2.设全集U＝R，A＝{x|2x(x－2)＜1}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分表示的集合(　　)

A．{x|x≥1} B．{x|1≤x＜2}

C．{x|0＜x≤1} D．{x|x≤1}

3．已知四棱锥P－ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P－ABCD的四个侧面中的最大面积是(　　)

A．6 B．8 C．2 D．3

4．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝(　　)

A．2 B．4 C．6 D．8

5．给出命题p：直线l1：ax＋3y＋1＝0与直线l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行的充要条件是a＝－3；命题q：若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是(　　)

A．命题“p且q”为真 B．命题“p或q”为假

C．命题“p或非q”为假 D．命题“p且非q”为真

6．如果执行如右图所示的程序框图，则输出的S值为(　　)

A．－3 B．－ C．2 D.

7．将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，且甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有多少种？(　　)

A．150 B．114 C．100 D．72

8．已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1(x∈R)，则f(x)在区间上的最大值和最小值分别是(　　)

A．2，－1 B．1，－1 C．1，－2 D．2，－2

9．已知三边长分别为4、5、6的△ABC的外接圆恰好是球O的一个大圆，P为球面上一点，若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥P－ABC的体积为(　　)

A．5 B．10 C．20 D．30

10．已知等比数列{an}满足an＞0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝(　　)

A．n(2n－1) B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2

第Ⅱ卷 (非选择题　共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上)

13．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆x2＋y2－4x－5＝0相切，则p的值为________．

14．已知函数f(x)＝kx＋1，其中实数k随机选自区间[－2,1]．则对?x∈[－1,1]，都有f(x)≥0恒成立的概率是________．

15．设x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为12，则＋的最小值为________．

16．定义函数f(x)＝[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，当x∈[0，n)(n∈N*)时，设函数f(x)的值域为集合A，记A中的元素个数为an，则的最小值为________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)

17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝cos2x＋2sin xcos x－sin2x

(1)求f(x)的最小正周期和值域；

(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f＝2且a2＝bc，试判断△ABC的形状．

18. (本小题满分12分)第12届全运会于2013年8月31日在辽宁沈阳举行，组委会在沈阳某大学招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位：cm)，身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”.

(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中共抽取5人，再从这5人中选2人，求至少有一人是“高个子”的概率；

(2)若从身高180 cm以上(包括180 cm)的志愿者中选出男、女各一人，求这2人身高相差5 cm以上的概率．

19. (本小题满分12分)如图，已知BC是半径为1的半圆O的直径，A是半圆周上不同于B，C的点，F为的中点．梯形ACDE中，DE∥AC，且AC＝2DE，平面ACDE⊥平面ABC.

(1)求证：平面ABE⊥平面ACDE；

(2)求证：平面OFD∥平面ABE.

20.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy上取两个定点A1(－2,0)、A2(2,0)，再取两个动点N1(0，m)、N2(0，n)，且mn＝3.

(1)求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程；

(2)已知F2(1,0)，设直线l：y＝kx＋m与(1)中的轨迹M交于P、Q两点，直线F2P、F2Q的倾斜角为α、β，且α＋β＝π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．

21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex－ax2(a∈R)

(1)求函数f(x)在点P(0,1)处的切线方程；

(2)若函数f(x)为R上的单调递增函数，试求a的范围；

(3)若函数f(x)不出现在直线y＝x＋1的下方，试求a的最大值．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲

如图，已知PE切⊙O于点E，割线PBA交⊙O于A、B两点，∠APE的平分线和AE、BE分别交于点C、D.

求证：(1)CE＝DE；

(2)＝.

23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

已知极点与坐标原点重合，极轴与x轴非负半轴重合，M是曲线C：ρ＝4sin θ上任意一点，点P满足＝3 ，设点P的轨迹为曲线Q.

(1)求曲线Q的方程；

(2)设曲线Q与直线l：(t为参数)相交于A，B两点且|AB|＝4，求实数a的值．

24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

已知f(x)＝|x＋1|＋|x－1|，不等式f(x)＜4的解集为M.

(1)求M；

(2)当a，b∈M时，证明：2|a＋b|＜|4＋ab|.

甘肃省高台县第一中学2014年秋学期期末考试

高三数学(文科)答案

1．B　根据纯虚数的定义得，所以a＝－1.

4．A　由|＋|＝|－|得·＝0，所以AM为直角三角形ABC斜边上的中线，所以||＝||＝2.

5． D　若直线l1与直线l2平行，则必满足a(a＋1)－2×3＝0，解得a＝－3或a＝2，但当a＝2时两直线重合，所以l1∥l2?a＝－3，所以命题p为真．如果这三点不在平面β的同侧，则不能推出α∥β，所以命题q为假．故选D.

6．C　开始i＝0，满足i＜4，进入循环，

第一次循环：i＝i＋1＝1，S＝＝，满足i＜4，再次循环；

第二次循环：i＝i＋1＝2，S＝＝－，满足i＜4，再次循环；

第三次循环：i＝i＋1＝3，S＝＝－3，满足i＜4，再次循环；

第四次循环：i＝i＋1＝4，S＝＝2，不满足i＜4，结束循环，此时输出的S值为2.

7．C　先将五人分成三组，因为要求每组至少一人，所以可选择的只有2,2,1或者3,1,1，所以共有＋＝25种分组方法．因为甲不能去北大，所以有甲的那组只有交大和浙大两个选择，剩下的两组无约束，一共4种排列，所以不同的保送方案共有25×4＝100种．

8．A　依题意得f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin(2x＋)，当x∈时，2x＋∈，sin∈，因此f(x)在区间上的最大值和最小值分别是2，－1，选A.

9．B　设边长为4的边所对的角为α，外接圆半径为R，则2R＝，显然当且仅当OP⊥平面ABC时，点P到三个顶点的距离相等，故所求的体积为V＝××R＝10.

10．C　log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1·a3·…·a2n－1)＝log2(a5·a2n－5)＝n2.

13．解析：依题意，圆x2＋y2－4x－5＝0可化为(x－2)2＋y2＝32，圆心(2,0)到抛物线的准线x＝－的距离等于圆的半径3，于是有2＋＝3，p＝2.

答案：2

14．解析：f(x)＝kx＋1过定点(0,1)，数形结合可知，当且仅当k∈[－1,1]时满足f(x)≥0在x∈[－1,1]上恒成立，而区间[－1,1]、[－2,1]的区间长度分别是2、3，故所求的概率为.

答案：

15．解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax＋by＝z(a＞0，b＞0)过直线x－y＋2＝0与直线3x－y－6＝0的交点(4,6)时，

目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)取得最大12，

即4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，而＋＝＝＋≥＋2＝.

答案：

16．解析：x∈[0,1)时，f(x)＝[x[x]]＝[x·0]＝0，该段函数值个数为1；

x∈[1,2)时，f(x)＝[x[x]]＝[x·1]＝[x]＝1，该段函数值个数为1；

x∈[2,3)时，f(x)＝[x[x]]＝[x·2]，2x∈[4,6)，该段函数值个数为2；

……

x∈[n－1，n)时，f(x)＝[x[x]]＝[x·(n－1)]，(n－1)x∈[(n－1)2，n(n－1))，所以f(x)＝[(n－1)x]在该段最小值为(n－1)2，最大值为n(n－1)－1，个数为n(n－1)－1－(n－1)2＋1＝n－1(n≥2)，所以an＝1＋1＋2＋…＋n－1＝1＋.

因此＝＋－≥2－＝(n＝10时等号成立)．

答案：

17．解：(1)f(x)＝cos2x＋2sin xcos x－sin2x＝sin 2x＋cos 2x＝2sin

所以T＝π，f(x)∈[－2,2]

(2)由f＝2，

有f＝2sin＝2，

所以sin＝1.

因为0＜A＜π，所以A＋＝，即A＝.

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A及a2＝bc，所以(b－c)2＝0.

所以b＝c，所以B＝C＝.

所以△ABC为等边三角形．

18．解：(1)根据茎叶图知，有“高个子12人”，“非高个子”18人，

用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是＝，

所以选中的“高个子”有12×＝2人，“非高个子”有18×＝3人．

“高个子”用A，B表示，“非高个子”用a，b，c表示，则抽出2人的情况有：(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10种，

至少有一名“高个子”被选中的情况有：(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，共7种．

因此，至少有一人是“高个子”的概率是P＝.

(2)由茎叶图知有5名男志愿者身高在180 cm以上(包括180 cm)，身高分别为181 cm,182 cm,184 cm,187 cm,191 cm；2名女志愿者身高在180 cm以上(包括180 cm)，身高分别为180 cm,181 cm.抽出的2人用身高表示，则有：(181,180)，(181,181)，(182,180)，(182,181)，(184,180)，(184,181)，(187,180)，(187,181)，(191,180)，(191,181)，共10种情况，身高相差5 cm以上的有：(187,180)，(187,181)，(191,180)，(191,181)，共4种情况，故这2人身高相差5 cm以上的概率为＝.

19．解：(1)因为平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，AB?平面ABC，

又在半圆O中，AB⊥AC.所以AB⊥平面ACDE.因为AB?平面ABE，

所以平面ABE⊥平面ACDE.

(2)设线段AC与OF交于点M，连接MD.

因为F为的中点，所以OF⊥AC，M为AC的中点．

因为AB⊥AC，OF⊥AC，所以OF∥AB.

又OF?平面ABE，AB?平面ABE，所以OF∥平面ABE.

因为M为AC的中点，且DE∥AC，AC＝2DE，

所以DE∥AM，且DE＝AM.

所以四边形AMDE为平行四边形，所以DM∥AE.

又DM?平面ABE，AE?平面ABE，所以DM∥平面ABE.

又OF∥平面ABE，MD∩OF＝M，

所以平面OFD∥平面ABE.

20．解：(1)依题意知直线A1N1的方程为：y＝(x＋2)，①

直线A2N2的方程为：y＝－(x－2)，②

设Q(x，y)是直线A1N1与A2N2的交点，①×②得y2＝－(x2－4)，

由mn＝3，整理得＋＝1.

∵N1、N2不与原点重合，∴点A1(－2,0)、A2(2,0)不在轨迹M上，

∴轨迹M的方程为＋＝1(x≠±2)．

(2)由题意知，直线l的斜率存在且不为零，

联立方程得，消去y，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则

，且kF2P＝，kF2Q＝.

由已知α＋β＝π，得kF2P＋kF2Q＝0，∴＋＝0，

化简，得2kx1x2＋(m－k)(x1＋x2)－2m＝0，

代入，得2k－－2m＝0，

整理得m＝－4k.

∴直线l的方程为y＝k(x－4)，因此直线l过定点，该定点的坐标为(4,0)．

21．解：(1)∵f′(x)＝ex－2ax，∴f′(0)＝1

所以f(x)在点P(0,1)处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)(x－0)，即y＝x＋1.

(2)由题意f′(x)＝ex－2ax≥0恒成立

x＞0时2a≤，令g(x)＝，则g′(x)＝，

由g′(x)＝0得x＝1，x＞1时g′(x)＞0，x＜1时g′(x)＜0.

∴g(x)min＝g(1)＝e，∴ a≤；

x＜0时2a≥，∵＜0，∴2a≥0则a≥0；

又a＝0，f′(x)＝ex≥0恒成立；

综上，若函数f(x)为R上的单调递增函数，则0≤a≤

(

22．解：(1)∵PE切⊙O于点E，∴∠A＝∠BEP.

∵PC平分∠APE，∴∠A＋∠CPA＝∠BEP＋∠DPE.

又∠ECD＝∠A＋∠CPA，∠EDC＝∠BEP＋∠DPE，

∴∠ECD＝∠EDC，∴CE＝ED.

(2)∵∠PDB＝∠EDC，∠EDC＝∠ECD，

∴∠PDB＝∠PCE.

又∠BPD＝∠EPC，

∴△PBD∽△PEC，∴＝.

同理△PDE∽△PCA，

∴＝.∴＝.又DE＝CE，

∴＝.

23．解：(1)设P(x，y)，M(x1，y1)，由已知ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，曲线C的直角坐标方程为x＋(y1－2)2＝4.

又＝3 ，∴，代入x＋(y1－2)2＝4，得x2＋(y－6)2＝36.

∴曲线Q的方程为x2＋(y－6)2＝36.

(2)依题意得直线l的方程为x＋y－a＝0.曲线Q的圆心为N(0,6)，半径r＝6，

N到l的距离d＝，又d＝＝4，

∴a＝－2或14.

24．解：(1)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|＝，

当x＜－1时，由－2x＜4，得