1．若复数(a2－1)＋(a－1)i(i为虚数单位)是纯虚数，则实数a＝(　　)

A．±1　　　　　　B．－1 C．0 D．1

2.设全集U＝R，A＝{x|2x(x－2)＜1}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分表示的集合(　　)

A．{x|x≥1} B．{x|1≤x＜2} C．{x|0＜x≤1} D．{x|x≤1}

3．已知四棱锥P－ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P－ABCD的四个侧面中的最大面积是(　　)

A．6 B．8

C．2 D．3

4．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝(　　)

A．2 B．4 C．6 D．8

5．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，不许有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的放法有(　　)

A．36种 B．45种 C．54种 D．96种

6．将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，且甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有多少种？(　　)

A．150 B．114 C．100 D．72

7．已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1(x∈R)，则f(x)在区间上的最大值和最小值分别是(　　)

A．2，－1 B．1，－1 C．1，－2 D．2，－2

8．如果执行如右图所示的程序框图，则输出的S值为(　　)

A．－3 B．－ C．2 D.

9．已知三边长分别为4、5、6的△ABC的外接圆恰好是球O的一个大圆，P为球面上一点，若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥P－ABC的体积为(　　)

A．5 B．10 C．20 D．30

10．已知等比数列{an}满足an＞0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝(　　)

A．n(2n－1) B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2

11．已知x∈，且函数f(x)＝的最小值为b，若函数g(x)＝，则不等式g(x)≤1的解集为(　　)

A. B. C. D.

12．若曲线f(x，y)＝0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f(x，y)＝0的“自公切线”．下列方程：①x2－y2＝1；②y＝x2－|x|；③y＝3sin x＋4cos x；④|x|＋1＝对应的曲线中存在“自公切线”的有(　　)

A．①② B．②③ C．①④ D．③④

第Ⅱ卷 (非选择题　共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上)

13．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆x2＋y2－4x－5＝0相切，则p的值为________．

14．设a＝sin xdx，则二项式6的展开式中的常数项等于________．

15．设x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为12，则＋的最小值为________． 16．定义函数f(x)＝[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，当x∈[0，n)(n∈N*)时，设函数f(x)的值域为集合A，记A中的元素个数为an，则的最小值为________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)

17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝cos2x＋2sin xcos x－sin2x

(1)求f(x)的最小正周期和值域；

(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f＝2且a2＝bc，试判断△ABC的形状．

18. (本小题满分12分)某学校高三(1)班学生举行新年联欢活动；准备了10张奖券，其中一等奖的奖券有2张，二等奖的奖券有3张，其余奖券均为3等奖．

(Ⅰ)求从中任意抽取2张，均得到一等奖奖券的概率；

(Ⅱ)从中任意抽取3张，至多有1张一等奖奖券的概率；

(Ⅲ)从中任意抽取3张，得到二等奖奖券数记为ξ，求ξ的数学期望．

19. (本小题满分12分)

如图，已知平行四边形ABCD和平行四边形ACEF所在的平面相交于直线AC，EC⊥平面ABCD，AB＝1，AD＝2，∠ADC＝60°，AF＝.

(1)求证：AC⊥BF；

(2)求二面角F－BD－A的余弦值．

20.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy上取两个定点A1(－2,0)、A2(2,0)，再取两个动点N1(0，m)、N2(0，n)，且mn＝3.

(1)求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程；

(2)已知F2(1,0)，设直线l：y＝kx＋m与(1)中的轨迹M交于P、Q两点，直线F2P、F2Q的倾斜角为α、β，且α＋β＝π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．

21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex－ax2(a∈R)

(1)求函数f(x)在点P(0,1)处的切线方程；

(2)若函数f(x)为R上的单调递增函数，试求a的范围；

(3)若函数f(x)不出现在直线y＝x＋1的下方，试求a的最大值．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲

如图，已知PE切⊙O于点E，割线PBA交⊙O于A、B两点，∠APE的平分线和AE、BE分别交于点C、D.

求证：(1)CE＝DE；

(2)＝.

23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

已知极点与坐标原点重合，极轴与x轴非负半轴重合，M是曲线C：ρ＝4sin θ上任意一点，点P满足＝3 ，设点P的轨迹为曲线Q.

(1)求曲线Q的方程；

(2)设曲线Q与直线l：(t为参数)相交于A，B两点且|AB|＝4，求实数a的值．

24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

已知f(x)＝|x＋1|＋|x－1|，不等式f(x)＜4的解集为M.

(1)求M；

(2)当a，b∈M时，证明：2|a＋b|＜|4＋ab|.

甘肃省高台县第一中学2014年秋学期期末考试

高三数学(理科)答案

1．B　根据纯虚数的定义得，所以a＝－1.

2．B　易知：阴影部分表示集合A∩?UB，因为2x(x－2)＜1＝20得x(x－2)＜0，所以0＜x＜2，所以A＝{x|0＜x＜2}，因为1－x＞0得x＜1，所以B＝{x|x＜1}，所以?UB＝{x|x≥1}，所以A∩?UB＝{x|1≤x＜2}．

3．A　

四棱锥如图所示：PM＝3，S△PDC＝×4×＝2

S△PBC＝S△PAD＝×2×3＝3，S△PAB＝×4×3＝6，所以四棱锥P－ABCD的四个侧面中的最大面积是6.

4．A　由|＋|＝|－|得·＝0，所以AM为直角三角形ABC斜边上的中线，所以||＝||＝2.

5． A　先把5号球放入任意一个盒子中有4种放法，再把剩下的四个球放入盒子中，根据4的“错位数”是9，得不同的放法有4×9＝36种．

6．C　先将五人分成三组，因为要求每组至少一人，所以可选择的只有2,2,1或者3,1,1，所以共有＋＝25种分组方法．因为甲不能去北大，所以有甲的那组只有交大和浙大两个选择，剩下的两组无约束，一共4种排列，所以不同的保送方案共有25×4＝100种．

7．A　依题意得f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin(2x＋)，当x∈时，2x＋∈，sin∈，因此f(x)在区间上的最大值和最小值分别是2，－1，选A.

8．C　开始i＝0，满足i＜4，进入循环，

第一次循环：i＝i＋1＝1，S＝＝，满足i＜4，再次循环；

第二次循环：i＝i＋1＝2，S＝＝－，满足i＜4，再次循环；

第三次循环：i＝i＋1＝3，S＝＝－3，满足i＜4，再次循环；

第四次循环：i＝i＋1＝4，S＝＝2，不满足i＜4，结束循环，此时输出的S值为2.

13．解析：依题意，圆x2＋y2－4x－5＝0可化为(x－2)2＋y2＝32，圆心(2,0)到抛物线的准线x＝－的距离等于圆的半径3，于是有2＋＝3，p＝2.

答案：2

14．解析：a＝sin xdx＝－cos xπ0＝2

C(2)6－rr＝(－1)r26－rCx3－r，由3－r＝0得r＝3，所以(－1)323C＝－160，所以展开式中的常数项等于 －160.

答案：－160

15．解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax＋by＝z(a＞0，b＞0)过直线x－y＋2＝0与直线3x－y－6＝0的交点(4,6)时，

目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)取得最大12，

即4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，而＋＝＝＋≥＋2＝.

答案：

16．解析：x∈[0,1)时，f(x)＝[x[x]]＝[x·0]＝0，该段函数值个数为1；

x∈[1,2)时，f(x)＝[x[x]]＝[x·1]＝[x]＝1，该段函数值个数为1；

x∈[2,3)时，f(x)＝[x[x]]＝[x·2]，2x∈[4,6)，该段函数值个数为2；

……

x∈[n－1，n)时， f(x)＝[x[x]]＝[x·(n－1)]，(n－1)x∈[(n－1)2，n(n－1))，所以f(x)＝[(n－1)x]在该段最小值为(n－1)2，最大值为n(n－1)－1，个数为n(n－1)－1－(n－1)2＋1＝n－1(n≥2)，所以an＝1＋1＋2＋…＋n－1＝1＋.

因此＝＋－≥2－＝(n＝10时等号成立)．

答案：

17．解：(1)f(x)＝cos2x＋2sin xcos x－sin2x＝sin 2x＋cos 2x＝2sin

所以T＝π，f(x)∈[－2,2]

(2)由f＝2，

有f＝2sin＝2，

所以sin＝1.

因为0＜A＜π，所以A＋＝，即A＝.

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A及a2＝bc，所以(b－c)2＝0.

所以b＝c，所以B＝C＝.

所以△ABC为等边三角形．

18．解：(Ⅰ)从中任意抽取2张，均得到一等奖奖券的概率P1＝＝；

(Ⅱ)从中任意抽取3张，至多有1张一等奖奖券的概率P2＝＋＝＋＝；

(或P2＝1－＝1－＝)

(Ⅲ)ξ取值0,1,2,3，

P(ξ＝0)＝＝；P(ξ＝1)＝＝；

P(ξ＝2)＝＝；P(ξ＝3)＝＝.

ξ

0

1

2

3



P











所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

19．解：(1)∵CD＝AB＝1， AD＝2，∠ADC＝60°，

∴AC＝，∴CD2＋CA2＝AD2，∴CD⊥CA.

又EC⊥平面ABCD，故以CD为x轴，CA为y轴，CE为z轴建立空间直角坐标系，其中C(0,0,0)，D(1,0,0)，A(0，，0)，F(0，，)，B(－1，，0)．

∴＝(0，，0)，＝(1,0，)，＝(－1，，)，＝(－2，，0)．

∴·＝0，∴AC⊥BF.

(2)平面ABD的一个法向量n＝(0,0,1)，设平面FBD的法向量m＝(x，y，z)，

由得，

∴，令z＝1得，m＝(－，－2,1)，

∴cos〈m，n〉＝.

故所求二面角F－BD－A的余弦值为.

20．解：(1)依题意知直线A1N1的方程为：y＝(x＋2)，①

直线A2N2的方程为：y＝－(x－2)，②

设Q(x，y)是直线A1N1与A2N2的交点，①×②得y2＝－(x2－4)，

由mn＝3，整理得＋＝1.

∵N1、N2不与原点重合，∴点A1(－2,0)、A2(2,0)不在轨迹M上，

∴轨迹M的方程为＋＝1(x≠±2)．

(2)由题意知，直线l的斜率存在且不为零，

联立方程得，消去y，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则

，且kF2P＝，kF2Q＝.

由已知α＋β＝π，得kF2P＋kF2Q＝0，∴＋＝0，

化简，得2kx1x2＋(m－k)(x1＋x2)－2m＝0，

代入，得2k－