2015年常德市高三年级模拟考试

数学（理工农医类）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．

1．若复数
,则
的虚部为

A．
B．
C．
D．

2．已知全集
,若集合
，
，则

A．
B．
C．
D．

3．现有某工厂生产的甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品分别有
件、
件、
件、
件．为了调查产品的情况，需从这
件产品中抽取一个容量为
的样本，若采用分层抽样，设甲产品中应抽取产品件数为
，设此次抽样中，某件产品
被抽到的概率为
，则
，
的值分别为

25，

20，

25，

25，

4．已知等差数列
的公差
，且
，

则
的值为

A．
B．
C．
D．

5．执行如图1所示的程序框图，若
，

则输出的结果为

A．170 B．126 C．62 D．42

6．钝角三角形
的面积是1，
，
，则

A．2 B．
C．10 D．

7．若某几何体的三视图(单位：
)如图2所示，

则该几何体的体积为

A．6
B．12
C． 18
D．36

8．设
满足约束条件
，若
，

，且
，则正实数
的最小值为

A．
B．
C．
D．

9．在
中，点
满足
，点
是线段
上的一个动点，若
，则
的最小值是

A．
B．
C．
D．

10．已知椭圆

（
）的左右顶点分别为
，
，左右焦点分别为
，
，点
为坐标原点，线段
的中垂线与椭圆在第一象限的交点为
，设直线
，
，
，
的斜率分别为
，
，
，
，若
，则

A．
B．
C．
D．

二．填空题：本大题共6小题，考生作答5个小题．每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）

11．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，直线
被圆
与所截得的弦长为 ．

12．（几何证明选讲选做题）如图3，⊙
是
的

外接圆，
，延长
到点
，连结

交⊙
于点
，连结
，若
,则

的大小为 ．

13．（不等式选讲选做题）若两个正实数
满足
，

且
恒成立，则实数
的取值范围是 ．

（二）必做题（14—16题）

14．设
（其中
为自然对数的底数），则
的图

象与直线
，
所围成图形的面积为 ．

15．设集合
，若
的某个子集中任意2个元素之差的绝对值不等于1，则称此子集为
的“分离子集”，那么从集合
中任取3个元素构成子集
，则
为“分离子集”的概率为 ______________．

16．若
是
在
的一个零点，则下列结论中正确的有 ．

①
； ②
；

③
； ④
．

三、解答题：本大题共6小题，共75分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）已知函数
的最小值为
，且图像上相邻两个最高点的距离为
．

（Ⅰ）求
和
的值；

（Ⅱ）若
，
，求
的值．

18．（本小题满分12分）某旅游景点，为方便游客游玩，设置自行车骑游出租点，收费标准如下：租车时间不超过2小时收费10元，超过2小时的部分按每小时10元收取（不足一小时按一小时计算）．现甲、乙两人独立来该租车点租车骑游，各租车一次．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为
，
；2小时以上且不超过3小时还车的概率分别为
，
，且两人租车的时间都不超过4小时．

（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；

（Ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量
，求
的分布列与数学期望．

19．（本小题满分12分）在如图4所示的几何体中，四边形
为平行四边形，平面

平面
，
，
∥
，
，
，

．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）当二面角
的平面角的余弦值为
时，求三棱锥
的体积．

20．（本小题满分13分）已知
的图像过点
，且对任意
，都有
，数列
满足
，
．

（Ⅰ）求
关于
的表达式和数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求数列
的前
项和
．

21．（本小题满分13分）已知椭圆
：
（
）的左右顶点是双曲线
：
的顶点，且椭圆
的上顶点到双曲线
的渐近线的距离为
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）若直线
与
相交于
，
两点，与
相交于
，
两点，且
，求
的取值范围．

22．（本小题满分13分）已知函数
．（其中
为自然对数的底数）

（Ⅰ）若方程
在区间
上有2个不同的实根，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）设
，证明：
；

（III）若
，
是函数
的图象上不同的两点，且函数
的图象在
，
处切线交点的横坐标为
，直线
在
轴上的截距为
，记

，请探索
的值是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．

2015年常德市高三年级模拟考试

数学（理科）参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．

1．B 2．A 3．D 4．C 5．A 6．D 7．B 8．B 9．C 10．C

二．填空题：本大题共25分.把答案填在答题卡中对应题号后 的横线上.

（一）选做题（11—13题，考生只从3题中任选2题作答。若3个都作答，则只给11、12题计分）

11．2 12．
13．

（二）必做题（14—16题）

14．
15．
16．①②③

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．解：（Ⅰ）函数
，

所以
……………………………3分

又由已知函数
的最小正周期为
，所以
，
………6分

（Ⅱ）有（Ⅰ）得
，所以

，

………………………………………9分

，

……………………………………………………12分

18． （1）甲、乙所付费用可以为
元、
元、
元

甲、乙两人所付费用都是
元的概率为
…………………1分

甲、乙两人所付费用都是
元的概率为
…………………2分

甲、乙两人所付费用都是
元的概率为

………3分

故甲、乙两人所付费用相等的概率为
………………5分

（2）随机变量
的取值可以为
……………………………6分

故
的分布列为：



























 ……………………………………………10分

的数学期望是

………………………………………………………12分

19．（Ⅰ）证明：因为
，平面
平面
，所以
平面
,

又
∥
，所以
平面
，所以