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| 简介：
庐江县部分示范高中2015届高三第三次联考 数学（理科）试卷 (满分150分，考试时间120分钟) 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一.选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1、若复数z满足方程，则( ) A. B. C. D. 2、已知命题：p 所有的素数都是奇数，则命题 ?p是( ) (A) 所有的素数都不是奇数 (B) 有些的素数是奇数 (C) 存在一个素数是奇数 (D) 存在一个素数不是奇数 3、变量满足约束条件则的最大值为( ) A．-3 B．0 C．1 D．3 4、函数f(x)＝cos 2x＋sin xcos x的最小正周期和振幅分别是( ) A．π，2 B．π，1 C．2π，1 D．2π，2 5、已知e是自然对数的底数，函数的零点为a，函数的零点为b，则下列不等式中成立的是( ) A． B. C. D. 6、已知a>0，b>0，A为a，b的等差中项，正数G为a，b的等比中项，则ab与AG的大小关系是( ) A．ab＝AG B．ab≥AG C．ab≤AG D．不能确定 7、钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC= ，则AC=( ) A. 5 B. C. 2 D. 1 8、数列的前项和为Sn ,且满足,（）则Sn等于 （ ） A. B. C. D. 9、函数y＝f (x)定义域是(－∞，＋∞)，若对于任意的正数a，函数g(x)＝f (x＋a)－f (x)都是其定义域上的增函数，则函数y＝f (x)的图象可能是( ) 10、已知关于x的不等式有且只有一个实数解，函数，，若对于任一实数x，f(x)与g(x)至少有一个为正数，则实数t的取值范围是( ) A．(0,8) B．(0,2) C．(2,8) D．(-∞,0) 第Ⅱ卷（非选择题 ，共100分） 二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卷相应位置上。) 11、已知，则实数的取值范围为 ． 12、已知等比数列的首项为8，是其前n项的和，某同学经计算得，后来该同学发现其一个数算错了，则该数为________。 13．已知两个非零向量与，定义，其中为与的夹角．若,，则的值为________． 14、已知，函数若函数在上的最大值比最小值大，则的值为 . 15、已知函数(x∈R).下列命题中： ①由=0，可得必是π的整数倍； ②y =f(x)的表达式可改写成； ③y =f(x)的图象关于点对称； ④y =f(x)的图象关于直线x =对称. 其中，正确命题的序号为 . 三、解答题：（本大题共6小题，共75分。解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤。） 16、（本题12分）在△中，分别是角所对的边，满足， （1）求角的大小； （2）设，，求的最小值 17、（本题12分）已知二次函数有两个零点和，且最小值是，函数与的图象关于原点对称. (1)求和 的解析式； (2)若在区间[－1,1]上是增函数，求实数的取值范围． 18、（本题12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上且对角线MN过C点，已知|AB|=3米，|AD|=2米.
（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？ （2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积. 19、（本题12分）已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0，且p≠1)，求证：数列{an}是等比数列的充要条件为q＝－1 20、（本题13分）设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. (1)求f(x)的单调区间与极值； (2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex >x2－2ax＋1. 21、（本题14分）数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n(n＋1)(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足：an＝＋＋＋…＋，求数列{bn}的通项公式； (3)令cn＝(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn. 庐江县部分示范高中2015届高三第三次联考 数学（理科）参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C B A C B B A A 填空题 11、 12、S3 （填S3=36，或36均正确） 13、6 14、或 15、 (2)(3) 三、解答题 16：解：(1)在△中，由余弦定理， 又 ……………6分 (2) 又当时，取最小值………12分 17：解： (1)依题意，设f(x)＝ax(x＋2)＝ax2＋2ax(a>0). f(x)图象的对称轴是x＝－1， ∴f(－1)＝－1，即a－2a＝－1，得a＝1. ∴f(x)＝x2＋2x. 由函数g(x)的图象与f(x)的图象关于原点对称， ∴g(x)＝－f(－x)＝－x2＋2x. ………………5分 (2)由(1)得h(x)＝x2＋2x－λ(－x2＋2x)＝(λ＋1)x2＋2(1－λ)x. ①当λ＝－1时，h(x)＝4x满足在区间[－1,1]上是增函数； ②当λ<－1时，h(x)图象的对称轴是x＝， 则≥1，又λ<－1，解得λ<－1； ③当λ>－1时，同理则需≤－1， 又λ>－1，解得－1<λ≤0. ………………11分 综上，满足条件的实数λ的取值范围是(－∞，0]. ………………12分 18：解：设AN的长为x米（x>2）, 因为，所以|AM|=，所以SAMPN=|AN|·|AM|=.……2分 （1）由SAMPN>32得>32.因为x>2，所以3x2-32x+64>0， 即（3x-8）(x-8)>0,所以2 即AN的长的取值范围是∪（8，+∞）. ………………6分 （2）y== ………………10分 当且仅当3(x-2)= ，即x=4时，y=取得最小值. 即SAMPN取得最小值24平方米. ………………12分 19：证明：充分性：当q＝－1时，a1＝S1＝p＋q＝p－1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．当n＝1时也成立， ∴an＝pn－1(p－1)(n∈N*)． 于是＝＝p(n∈N*)，即数列{an}为等比数列．……………6分 必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)． ∵p≠0，且p≠1， ∴＝＝p. ∵{an}为等比数列， ∴＝＝p，＝p，[ 即p－1＝p＋q.∴q＝－1. 综上所述，数列{an}是等比数列的充要条件为q＝－1. ………………12分 20：解：(1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R. 令f′(x)＝0，得x＝ln 2. 于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减 2(1－ln 2＋a) 单调递增 故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)， f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)． ………………6分 (2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R， 于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. 由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0. 于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增． 于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)． 而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0. 故ex－x2＋2ax－1>0，即ex>x2－2ax＋1. ………………13分 21：解： (1)当n＝1时，a1＝S1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，知a1＝2满足该式 ∴数列{an}的通项公式为an＝2n. ………………4分 (2)an＝＋＋＋…＋(n≥1)① ∴an＋1＝＋＋＋…＋＋② ②－①得，＝an＋1－an＝2，bn＋1＝2(3n＋1＋1)，b1=8 故bn＝2(3n＋1)(n∈N*)． ………………8分 (3)cn＝＝n(3n＋1)＝n·3n＋n， ∴Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n)＋(1＋2＋…＋n) 令Hn＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，① 则3Hn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1② ①－②得，－2Hn＝3＋32＋33＋…＋3n－n×3n＋1＝－n×3n＋1 ∴Hn＝， ∴数列{cn}的前n项和 Tn＝＋. ………………14分 | ||||||||||||||||||||||||||||||
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