屯溪一中2015届高三第四次月考

数学（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若复数
满足
（
为虚数单位），则
在复平面内对应的点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2. 命题“和为偶数的两个整数都为偶数”的否定是 （ ）

A．和不为偶数的两个整数都为偶数 B．和为偶数的两个整数都不为偶数

C．和不为偶数的两个整数不都为偶数 D．和为偶数的两个整数不都为偶数

3．已知集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

4.“
”是“函数
的最小正周期为
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．由直线
与曲线
所围成的封闭图形的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

6．函数
的图像大致为（ ）

7. 在
中，

是
边上的一点，
．

若记
，则用
表示
所得的结果为 （ ）

A．
B．
C．
D．

8．以
表示等差数列
的前
项的和，若
，则下列不等关系不一定成立的是 （ ）

A．
B．

C．
D．

9． 已知二次函数
的导数为
，
，对于任意的实数
都有
，则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知函数
，则关于
的方程
（
）的根的个数不可能为（ ）

A．
B．
C．
D．

二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把正确答案填在答题卡的相应位置．

11.在极坐标系中，点
到直线
的距离为 ．

12.已知平面向量
满足：
，且
，则向量
与
的夹角为 ．

13.在数列
中，若
，且
、
、
、
成公比为
的等比数列，
、
、
成公差为
的等差数列，则
的最小值是 ．

14.把函数
的图象上所有的点向左平移
个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），得到图象的函数表达式为 ．

15.定义全集
的子集
的特征函数为

，这里
表示集合
在全集
中的补集．已知
，给出以下结论：

①若
,则对于任意
，都有
≤
；

②对于任意
，都有
；

③对于任意
，都有
；

④对于任意
，都有
．

其中正确的结论有 ．（写出全部正确结论的序号）

三．解答题：（本大题共6小题，共75分）

16．（本小题满分12分）

已知函数

，点
、
分别是函数
图像上的最高点和最低点．

（1）求点
、
的坐标以及
的值；

（2）设点
、
分别在角
、
（
）的终边上，求
的值．

17．（本小题满分12分）

在
中,
，
,
，
为
内一点,
.

(1)若
,求
；

(2)若
,求
的面积
.

18．（本小题满分12分）

设公差不为
的等差数列
的首项为
，且
、
、
构成等比数列．

（1）求数列
的通项公式；

（2）若数列
满足
，
，求
的前
项和
．

19．（本小题满分12分）

对于定义域为
上的函数
，如果同时满足下列三条：①对任意的
，

总有
≥
；②
；③若
≥
，
≥
，
≤
，都有

≥
成立，则称函数
为理想函数．

(1) 若函数
为理想函数，求
的值；

(2) 判断函数
（
）是否为理想函数，并给出证明；

(3) 若函数
为理想函数，假定存在
，使得

，

且
，求证：
．

20．（本小题满分13分）

现有六名篮球运动员进行传球训练，由甲开始传球（第一次传球是由甲传向其他五名运动员中的一位），若第
次传球后，球传回到甲的不同传球方式的种数记为
.

(1) 求出
、
的值，并写出
与

≥
的关系式；

(2) 证明数列
是等比数列，并求出数列
的通项公式；

(3) 当
≥
时，证明：
.

21．（本小题满分14分）

已知函数
，
（
）.

(1) 若
时，函数
在其定义域上是增函数，求实数
的取值范围；

(2) 在（1）的结论下，设函数
的最小值；

(3) 设函数
的图象
与函数
的图象
交于点
、
，过线段
的中点

作
轴的垂线分别交
、
于点
、
，问是否存在点
，使
在
处的切线与
在
处的切线平行？若存在，求出
的横坐标；若不存在，请说明理由.

屯溪一中2015届高三第四次月考

数学（理科）

一．选择题（本题满分50分，每小题5分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

D

B

A

D

B

C

D

B

A





二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把正确答案填在答题卡的相应位置。

11.
； 12．
； 13.
； 14.
； 15．①②③．

三．解答题：（本大题共6小题，共75分）

16．（本小题满分12分）

17．（本小题满分12分）

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d（d≠0），则

∵a2，a5，a14构成等比数列，

∴a＝a2a14，

即(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)，

解得d＝0（舍去），或d＝2．

∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1．………………………………………4分

（Ⅱ）由已知＋＋…＋＝1－，n∈N*，

当n＝1时，＝；

当n≥2时，＝1－－(1－)＝．

∴＝，n∈N*．

由（Ⅰ），知an＝2n－1，n∈N*，

∴bn＝，n∈N*．

又Tn＝＋＋＋…＋，

Tn＝＋＋…＋＋．

两式相减，得

Tn＝＋(＋＋…＋)－＝－－，

∴Tn＝3－．……………………………………………………………12分

19．（本小题满分12分）

解析：（1）取
得
≥


，则
≤
，

又
≥
，故

；

（2）当
时，函数
≥
，满足条件①；又
满足条件②；

若
≥
，
≥
，
≤
，

则


≥
，满足条件③，

故函数
是理想函数．

（3）由条件③，任给
，当
时，
，且
≥
≥
．

若
，则
≤
，矛盾．

若
，则
≥
，矛盾．

故
．

20．（本小题满分13分）

解．（1）
,
，

第
次传球后，不同传球方式种数为
，不在甲手中的种数为
，

∴当
≥
时，
……5分

（2）由
=－
＋
得，
，

又
，则数列
是以
为首项，
为公比的等比数列.

从而
，故
. …………9分

（3）.当

≥
为奇数时, 则
为偶数

＜

当

≥
为偶数时, 则
为奇数,从而

综上，当
≥
时,
. …………
分

21．（本小题满分14分）

解：（1）依题意：