宣城市八校2015届高三上学期联考数学（文）试题

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。全卷满分150分，考试时间120分钟。

考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量与复数、数列、

不等式、推理与证明。

考生注意事项：

l．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

2．答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦十净后，冉选涂其他答案标号。

3．答第Ⅱ卷时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后冉用0．5毫米的黑色墨水签字笔捕清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）如图，设全集U=N，集合A={1，3，5，7，8}，B＝{1，2，3，4，5}，则图中阴影部分表示的集合为

（A）{2，4} （B）{7，8}

（C）{1,3,5} （D）{1,2,3,4,5}

（2）设i是虚数单位，则复数
的共轭复数

（A）－i （B）i （C）1－I （D）1+i

（3）函数y=
的定义域为

（A）（－1，3] （B）（－1，0）
（0，3]

（C）[－1，3] （D）[－1．0）
（0，3]

（4）设Sn是等比数列{an}的前n项和，若a3=7，S3=21，则数列{an}的公比是

（A）
（B）1 （C）
或1 （D）
或1

（5）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x<0时f（x）=3x，若f（x0）=
，则x0=

（A）－2 （B）
（C）
（D）2

（6）若曲线y=alnx+x2（a>0）的切线倾斜角的取值范围是[
，
），则a=

（A）
（B）
（C）
（D）

（7）设Sn，是等差数列{an}的前n项和，且a2+2a4+5a6=48，则S9=

（A）36 （B）45 （C）54 （D）63

（8）若将函数y=sin（2x
）的图像向左平移
个单位，所得图像关于y轴对称，则
的最小正值是

（A）
（B）
（C）
（D）

（9）若x，y满足约束条件
，且z=2x+y的最小值为－1，则a=

（A）－2 （B）－1 （C）0 （D）1

（10）在l和l 7之间插入n个数，使这n+2个数成等差数列，若这n个数中第一个为a，第n个为b，当
取最小值时，n＝

（A）4 （B）5 （C）6 （D）7

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

考生注意事项：

请用0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．

（11）已知向量a=（－2，4），b=（－2，3m），c=（4m，－4），若（a－2b）⊥c，则m的值为

。

（12）27
+（
）
。

（13）如图，在△OAB中，OA⊥AB，OB=1，OA=
，过B点作OB延长线的垂线交OA延长线于点A1，过点A1作OA延长线的垂线交OB延长线于点B1，如此继续下去，设△OAB的面积为al，△O A1B的面积为a2，△OA1B1的面积为a3，…，以此类推，则a6= .

（14）已知数列{an}的各项都是正数，其前n项和Sn满足2Sn=an+
，n∈N*，则数列｛an｝的通项公式为 .

（15）设非直角△ABC的内角A、B．C所对边的长分别为a、b、c，则下列结论正确的是 （写出所有正确结论的编号）．

①“sinA>sinB”是“a>b”的充分必要条件

②“cosAb”的充分必要条件

③。tanA>tanB”是“a>b”的充分必要条件

④“sin2A>sin2B”是a“>b”的充分必要条件

⑤“cos2Ab”的充分必要条件

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（16）（本小题满分]2分）

设函数f（x）=sinxcos（x+
）+
，x∈R．

（Ⅰ）求f（x）的最大值及最小正周期；

（Ⅱ）讨论f（x）在区间[0，
]上的单调性．

（17）（本小题满分12分）

已知命题p：对任意x∈R，不等式2x+ |2x－2|>a2－a恒成立；命题q：关于x的方程x2+2ax+1=0有两个不相等的实数根．若“（
）V q”为真命题，“（
）
q”为假命题，求实数a的取值范围．

（18）（本小题满分12分）

设△A BC的内角A、 B、C所对边的长分别为a、b、c，且3b2=2ac（1+cosB）．

（I）证明：a、b、c．成等差数列；

（Ⅱ）若a=3．b=5b求△ABC的面积．

（19）（本小题满分13分）

已知数列｛an｝满足al=2，an+l =2a
，n∈N*．

（I）证明：数列{1+log2an}为等比数列；

（Ⅱ）设bn=
，求数列{bn}的前n项和Sn。

（20）（本小题满分13分）

设函数f（x）=ax－ex，a∈R，e为自然对数的底数．

（I）若函数f（x）存在两个零点，求a的取值范围；

（Ⅱ）若对任意x∈R，a> 0, f（x）≤a2ka恒成立，求实数K的取值范围．

（21）（本小题满分13分）

设递增数列{an}满足al=1，al、a2、a5成等比数列，且对任意n∈N*，函数．f（ x）=（an+2

－an+1）x－（an－an－1）sinx+ancosx满足
（
）=0．

（I）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{an}的前n项和为Sn，bn=
，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn<2．

参考答案

题号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）



答案

A

A

B

D

D

B

C

C

B

D





（1）A　解析：由Venn图可知阴影部分表示的集合为(?UA)∩B＝{2，4}．

（2）A 解析：

（3）B 解析：由已知得，解得x∈(－1，0)∪(0，3].

（4）D 解析：设数列
的公比为q，则
解得
或1.

（5）D 解析：当
时，
可得
.

（6）B 解析：y′＝＋2x≥2，∵倾斜角的取值范围是
，∴斜率
，
，∴
（7）C 解析：48＝a2＋2a4＋5a6＝
S9＝＝9a5＝54.

（8）C 解析：
由其图像关于y轴对称，可知
得
故
的最小正值是

（9）B 解析：画出可行域，如图，显然z＝2x＋y在直线x＋y＝a与2x－y＝1的交点处取得最小值，解得交点坐标为(，)，则－1＝2×＋，解得a＝－1．

（10）D 解析：由已知得a＋b=18，则＋＝(＋)×=(25＋1＋＋)≥(26＋10)=2，当且仅当b=5a时取等号，此时a=3，b=15，可得n=7．

（11）　解析：a－2b＝(2，4－6m)，且(a－2b)⊥c，故8m－4(4－6m)＝0，m＝.

（12）10 解析：原式

（13）
解析：a1＝，a2＝，a3＝2，…，a6＝
．

（14）
解析：当n＝1时，2S1＝a1＋=2a1，a1＝1，当n≥2时，2Sn＝Sn－Sn－1＋，即Sn＋Sn－1＝，
，又

S＝n，Sn＝，

.

①②⑤ 解析：由①sinA＞sinB，利用正弦定理得 a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB ，等价于

a＞b，①正确；由②cosA＜cosB，利用函数
在
上单调递减得
，等价于a＞b，②正确； 由③tanA＞tanB，不能推出a＞b，如A为锐角，B为钝角，虽然有tanA＞tanB，但由大角对大边得a＜b，③错误；由④sin2A＞sin2B，不能推出a＞b，如 A=45°，B=60°时，虽然有sin2A＞sin2B，但由大角对大边得a＜b，④错误；由⑤cos2A＜cos2B，利用二倍角公式得sin2A＞sin2B，∴sinA＞sinB，故等价于a＞b，⑤正确．

（16）解析：（Ⅰ）f (x)＝sinx(cosx－sinx)＋＝sin2x－·＋＝sin(2x＋)，

∴f (x)的最大值为，最小正周期为π．（6分）

（Ⅱ）

当
即
时，f(x)单调递增；

当
即
时，f(x)单调递减.

综上可知f(x)在区间
上单调递增，在区间
上单调递减.（12分）

解析：令f (x)＝2x＋|2x－2|，则

∵y＝2x+1－2是增函数，∴f (x)有最小值2，

若命题p为真命题，则a2－a＜2，－1＜a＜2．

若命题q为真命题，则△＝4a2－4＞0，a＜－1或a＞1．（8分）

∵
为真命题，
为假命题，∴
与q一真一假.

若p真，则q真，此时1＜a＜2;

若p假，则q假，此时
即a=－1．

故a的取值范围是{-1}∪(1，2)．（12分）

（18）解析：（Ⅰ）由余弦定理知2accosB＝a2＋c2－b2，

∴3b2＝2ac＋a2＋c2－b2，4b2＝(a＋c)2，2b＝a＋c，

∴a、b、c成等差数列．（6分）

（Ⅱ）∵a＝3，b＝5，∴c＝7，cosC＝＝－，sinC＝，

∴
的面积S＝absinC＝．（12分）

（19）解析：（Ⅰ）两边取以2为底的对数得log2an＋1＝1＋2log2an，则log2an＋1＋1＝2(log2an＋1)，

∴{1＋log2an}为等比数列，且log2an＋1＝(log2a1＋1)×2n－1＝2n.（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

＝＋＋…＋，则
＝＋＋…＋，

两式相减得
＝＋＋…＋－＝1－－，
.（13分）

（20）解析：（Ⅰ）f ′(x)=a－ex．

当a≤0时，f ′(x)＜0，f (x)在R上单调递减，最多存在一个零点，不满足条件；

当a＞0时，由f ′(x)=0解得x=lna，当x＞lna时，f ′(x)＜0，当x＜lna时，f ′(x)＞0．

故f (x)在x=lna处取得最大值f (lna)=alna－a，

∵f (x)存在两个零点，∴f (lna)=alna－a＞0，a＞e，即a的取值范围是(e，＋∞)．（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f (x) ≤alna－a，故只需alna－a≤a2－ka，k≤a＋1－lna.

令g(a)= a＋1－lna，g′(a)= 1－，当a＞1时，g′(a)＞0；当a＜1时，g′(a)＜0．

故g(a)在a=1处取得最小值2，则k≤2，即k的取值范围是(－∞，2]．（13分）

（21）解析：(Ⅰ)∵
＝an＋2－an＋1－(an－an＋1)cosx－ansinx，

∴
＝an＋2－an＋1＋an－an＋1＝0，即2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}是以a1＝1为首项的等差数列，

设数列
的公差为d，则d>0，由a＝a1·a5，得(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)，解得d＝2，

∴an＝2n－1.(6分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得Sn＝＝n2，∴bn＝，∴T1＝b1＝1<2.

∵当n≥2时，<＝－，

∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋＋
…＋<＋＋＋…＋

＝1＋1－＋…＋－＝2－<2，∴Tn<2.(13分）