南昌市三校联考（南昌一中、南昌十中、南铁一中）高三试卷

理科数学试卷

(试题卷)

试卷总分：150分 考试时间：120分钟 命题人：南铁一中高三数学备课组（吴 晓执笔）

选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把你认为正确选项的代号填入答题卷的相应表格内。

1.已知函数y＝
的定义域为A，集合B＝{x||x－3|＜a, a＞0}，若A∩B中的最小元素为2，则实数a的取值范围是：

A．(0, 4]　 B．(0, 4)　 C．(1, 4]　 D．(1, 4)

2.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c (ac≠0)，若f(x)＜0的解集为(－1, m)，则下列说法正确的是：

A. f(m－1)＜0 B. f(m－1)＞0 C.f(m－1)必与m同号 D. f(m－1)必与m异号

3.函数f(x)＝sin4x＋cos4x的最小正周期为：

A．
B.
C．π D．2π

4. 若将函数y＝2sin(x＋
)的图像上各点的横坐标缩短为原来的
倍(纵坐标不变)，再向右平移
个单位，则所得图像的一条对称轴的方程为：

A．x＝－
　　　 B．x＝－
　　　 C．x＝
　　　 D．x＝

5.已知sin(α－2π)＝2sin(
＋α)，且α≠kπ＋
(k∈Z)，则
的值为

A．
　　　 B．
　　　 C．
　　　　 D．

6.已知＝(
, 1)，若将向量－2绕坐标原点逆时针旋转120o得到向量
，则
的坐标为：

A．(0, 4)　　　 B．(2
, －2)　　　 C．(－2
, 2)　　　D．(2, －2
)

7.已知,
是不共线的向量，若
＝λ＋
,
＝＋μ
(λ,μ∈R)，则A, B, C三点共线的充要条件是：

A．λ＋μ＝1　　 B．λ－μ＝1　　　 C．λμ＝1　　　　D．λμ＝－1

8.已知△ABC的三内角A, B, C所对边的长依次为a,b,c，M为该三角形所在平面内的一点，若a
＋b
＋c
＝
，则M是△ABC的

A．内心　　　 B．重心　　　 C．垂心　　　　 D．外心

9. 若函数F(x)= f(x)＋x2为奇函数，且g(x)= f(x)＋2，若 f(1) =1，则g(－1)的值为：

A．1　 B．－1　 C．2　 D．－2

10.若函数f(x)＝
(eλx＋e－λx) (λ∈R)，当参数λ的取值分别为λ1与λ2时，其在区间[0,＋∞)上的图像分别为图中曲线C1与C2，则下列关系式正确的是：

A． λ1＜λ2　 B． λ1＞λ2

C．|λ1|＜|λ2|　　 D．|λ1|＞|λ2|

二、填空题：每小题5分,共25分。

11.若α的终边不与坐标轴重合,且tanα ≠ ±1，则

＝_____。

12.设向量 (x)＝(cosx，sinx)，0≤x≤π，则函数f(x)＝2 (
)· (
)的值域为__________。

13.若函数f(x)＝3|cosx|－cosx＋m, x∈(0, 2π)，有两个互异零点，则实数m的取值范围是_________。

14. 若等腰△ABC底边BC上的中线长为1，底角B＞60o，则
·
的取值范围是______。

15.已知△ABC内部的一点O，恰使
＋2
＋3
＝
，则△OAB，△OAC，△OBC的面积之比为________________。(结果须化为最简)

三、解答题：共6小题，共 75分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（12分）（Ⅰ）求
的值。

（Ⅱ）已知6 sin2x＋sinxcosx－2cos2x＝0，π＜x＜
，试求sin2x－cos2x＋tan2x的值。

17.（12分）若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ) (ω＞0，0＜φ＜2π)，

满足f(x＋
)＝f(x－
)，且部分图像如右图所示。

（Ⅰ）求f(x)解析式；

（Ⅱ）若α∈(π, 2π)，且f(
)＋f(
)＝－1，求cosα的值。

18. （12分）已知△ABC的三内角A, B, C所对边的长依次为a,b,c，若cosA＝
,cosC＝
。

（Ⅰ）求cos B的值； （Ⅱ）若|
＋
|＝
，求BC边上中线的长。

19.（12分）若
,
,
为同一平面内互不共线的三个单位向量，并满足
＋
＋
＝
，且向量＝x
＋
＋(x＋
)
(x∈R，x≠0，n∈N＋)。

（Ⅰ）求
与
所成角的大小； （Ⅱ）记f(x)＝||，试求f(x)的单调区间及最小值。

20.（13分）已知函数f(x)＝x2·ln|x| (x≠0)。

(Ⅰ)求f(x)的最值； (Ⅱ)若关于x的方程f(x)＝kx－1无实数解，求实数k的取值范围。

21.（14分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60o, M为AB边上不与端点重合的动点，且CM与DA分别延长后交于点N,若以菱形的对角线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，并设BM＝2t (0＜t＜1)。

（Ⅰ）试用t表示
与
,并求它们所成角的大小；

（Ⅱ）设f(t)＝
·
，g(t)＝at＋4－2a(a＞0)，分别

根据以下条件，求出实数的取值范围：

存在t1,t2∈(0,1)，使得
＝g(t2)；

② 对任意t1∈(0,1)，恒存在t2∈(0,1)，使得
＝g(t2)。

南昌一中、南昌十中、南铁一中三校高三联考·理科数学参考答案

一、选择题：CDBAD BCABD。

二、填空题：11．－2； 12．[1, 2]； 13．－4＜m≤－2或m＝0； 14．(－1,－
)； 15．3∶2∶1。

三、解答题：

16. 【解】( I )∵sin40o－
cos20o＝sin(30o＋10o)－
cos (30o－10o)＝

＝ (
cos10o＋
sin10o)－
(
cos10o＋
sin10o)＝－cos10o。∴原式＝－1。

( II ) 依题设：6tan2x＋tanx－2＝0 ? (3tanx＋2)(2tanx－1)＝0，又π＜x＜
?tanx＝
。不妨设x的终边过点(－2,－1) ? sinx＝－
，cos x＝－
，? sin2x＝
，cos2x＝
，tan2x＝
。

故原式＝
－
＋
＝
。

17. 【解】( I )依题设知：f(x＋
)＝f(x)，? f(x)的周期T＝
，?ω＝3。

故f(x)＝sin(3x＋φ)－cos(3x＋φ)＝
sin(3x＋φ－
)。又点(
,0)在其图像上，?sinφ＝0，

又0＜φ＜2π，?φ＝π，? f(x)＝－
sin(3x－
)为所求。

( II )依题设及( I )知：f(
)＋f(
)＝－
sinα－
sin(α－
)＝－1。整理得：

sinα－
cosα＝1 ? sin(α－
)＝
。又依题设：α∈(π, 2π)，?α－
＝
?α＝
＋
。

故cosα＝cos(
＋
)＝－
为所求。

18.【解】( I )依题设：sinA＝
＝
＝
，sinC＝
＝
＝
，

故cosB＝cos[π－(A＋C)]＝－cos (A＋C)＝－(cosAcosC＋sinAsinC)＝－(
－
)＝
。

( II ) 由( I )知：sinB＝
＝
＝
，再由正弦定理易得：
＝
＝
，

不妨设：a＝4k，b＝5k，c＝6k，k＞0。故知：|
|＝b＝5k，|
|＝a＝4k。

依题设知：|
|2＋|
|2＋2|
||
|cosC＝46
46k2＝46，又k＞0
k＝1。

故△ABC的三条边长依次为：a＝4，b＝5，c＝6。

若设BC的中点为D，由余弦定理得：AD2＝62＋22－2×6×2cos B＝40－2×6×2×
＝
。

故BC边上的中线长为：
。 【注】本小题还可通过求|
＋
|来解答。

19.【解】( I ) 依题设：|
|＝|
|＝|
|＝1，且
＋
＝－
? (
＋
)2＝(－
)2,化简得：

·
＝－
? cos<
,
>＝－
，又<
,
>∈[0, π] ? <
,
>＝
。

( II )由 ( I )易知：
·
＝
·
＝
·
＝－
，故由f(x)＝||＝
，将其展开整理得： f(x)＝
(x∈R，x≠0，n∈N＋)。

①x＞0时，对u(x)＝x2＋(
)2－n，求导并整理得： (x)＝
。则由 (x)＞0?x＞
，

且由 (x)＜0?0＜x＜
。即f(x)的增区间为(
, ＋∞)，减区间为(0,
)。

②x＜0时，因f(x)为偶函数，由图像的对称性知：f(x)的增区间为(－
,0)，减区间为(－∞,－
)。

综上：f(x)的增区间为 (－
，0) 与 (
, ＋∞)，f(x)的减区间为(－∞, －
) 和 (0,
)。

再由均值不等式易求得：|x|＝
时， f(x)min＝
。

20. 【解】( I )∵f(x)为偶函数，∴我们先求其在(0,＋∞)内的最值。

求导得：
(x)＝x(2lnx＋1), 令
(x)＝0 ? 2lnx＋1＝0 ? x＝e
，由此易知：

x∈(0, e
)时，
(x)＜0 ? f(x)单调递减；x∈(e
,＋∞)时，
(x)＞0 ?f(x)单调递增。

故f(x)在[0,＋∞)上的最小值f(x)min＝f(e
)＝－
。

再由f(x)为偶函数，其图像关于y轴对称即知：f(x)min＝－
为所求。

( II )由( I )知：f(x)的图像大致如右图所示，由图像知：当求出直线y＝kx－1

与f(x)的图像相切时，其斜率k的值后，便可求得该直线与f(x)的图像无交点，即

方程f(x)＝kx－1无实数解时，其斜率k的取值范围。 我们先考虑x＞0的情况。

设切点为(x0, y0)，x0＞0? k切＝x0(2ln x0＋1)?切线方程为：y＝x0(2ln x0＋1)x＋y0－x02(2ln x0＋1)，

因该切线与y＝kx－1重合，故x02(2ln x0＋1)＝1 ?2x02ln x0＝1－x02 。此即2 f(x0) ＝1－x02。 (※)

在同一坐标系内，作出函数y＝2f(x), x＞0, 与y＝1－x2的图像，可知它们的交点为(1, 0)。故方程(※)的解为：x0＝1 ?k切＝1；?x＞0时，k≥1，直线y＝kx－1与f(x)的图像有交点(即原方程有解)。

再根据f(x)的图像的对称性易知：k≤－1时，直线y＝kx－1与f(x)的图像也有交点。

故－1＜k＜1时，直线y＝kx－1与f(x)的图像无交点，即方程f(x)＝kx－1无实数解。

21.【解】( I ) 过点M作坐标轴的垂线段，则依题设易求得

M点的坐标为：M(
, 1－t ) ?
＝(
, 1－t )，··· ⑴

依题设知：△ABD为正三角形，故
＝(0, －1)，由此知：

＝