填空题：

1. 设全集为，集合
，集合
，则
(?
)= ▲

2. 命题“对
，都有
”的否定为 ▲

3. 对于函数
,“
是奇函数”是“
的图象关于轴对称”的_____▲_____条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）

4. 函数
的定义域为 ▲

5. 已知向量
，
，
，若
，则实数
▲

6. 过原点作曲线
的切线，则此切线方程为 ▲

7. 已知
的零点在区间
上，则
的值为 ▲

8. 已知
为非零向量，且
夹角为
，若向量
，则
▲

9. 函数
的单调增区间为 ▲

10. 设
是定义在上周期为4的奇函数，若在区间
，
，则
 ▲

11. 已知定义在上的奇函数
和偶函数
满足

，且
，若
，则
▲

12. 在面积为2的
中，
分别是
的中点，点在直线
上，则
的最小值是 ▲

13.若函数
定义在上的奇函数，且在
上是增函数，又
，则不等式
的解集为 ▲

14. 已知函数
，若
在区间
上有且只有1个零点，则实数的取值范围是 ▲

二、解答题：

15. 已知函数
为定义在上的奇函数，且当
时，
.

（1）求
的解析式；

（2）若函数
在区间
上单调递增，求实数的取值范围.

16. 设集合
，
.

（1）当
1时，求集合；

（2）当
时，求的取值范围．

17. 如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，

（1）若
，求，的值；

（2）若
，
，
，且
与
的夹角为60°时，求
的值.

18. 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售价格（单

位：元/千克）满足关系式
，其中
，为常数.已知销售价格为

5元/千克时，每日可售出该商品11千克.

（1）求的值；

（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

19. 中心在原点，焦点在轴上的椭圆
的焦距为2，两准线间的距离为10. 设
过点

作直线
交椭圆
于
两点，过点作轴的垂线交椭圆
于另一点

（1）求椭圆
的方程;

（2）求证直线
过轴上一定点

（3）若过点作直线与椭圆
只有一个公共点
求过
两点，且以
为切线的圆的方程.

20. 已知函数
．

（1）求函数
的极值；

（2）求函数
（为实常数）的单调区间；

（3）若不等式
对一切正实数恒成立，求实数
的取值范围．

2015届高三第一次月考（理）

数学答题纸2014.10

一、填空题(14×5＝70分)

1、

2、
，



3、充分不必要

4、



5、1

6、



7、1

8、



9、

10、



11、

12、



13、

14、
或





二、解答题（共90分）

19、（16分）（1）设椭圆的标准方程为

依题意得：

所以，椭圆的标准方程为

（2）设
，
，AP=tAQ，则
.

结合
，得
. 设B(x，0)，则
，
，所以，直线
过轴上一定点B(1，0).

（3）设过点的直线方程为：
代入椭圆方程
得：
.

依题意得：
即
得：

且方程的根为

.

当点位于轴上方时，过点与
垂直的直线与轴交于点,直线
的方程是：

.

所求的圆即为以线段
为直径的圆，方程为：

同理可得：当点位于轴下方时，圆的方程为：

20. 已知函数
．

（1）求函数
的极值；

（2）求函数
（为实常数）的单调区间；

（3）若不等式
对一切正实数恒成立，求实数
的取值范围．

解：（1）g （x）＝lnx－x＋1，g′（x）＝－1＝，

当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当x＞1时，g′（x）＜0，

可得g （x）在（0,1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，

故g （x）有极大值为g（1）＝0，无极小值．

（2）h（x）＝lnx＋|x－a|．

当a≤0时，h（x）＝lnx＋x－a，h′（x）＝1＋＞0恒成立，

此时h（x）在（0，＋∞）上单调递增；

当a＞0时，h（x）＝

①当x≥a时，h（x）＝lnx＋x－a，h′（x）＝1＋＞0恒成立，

此时h（x）在（a，＋∞）上单调递增；

②当0＜x＜a时，h（x）＝lnx－x＋a，h′（x）＝－1＝．

当0＜a≤1时，h′（x）＞0恒成立，此时h（x）在（0，a）上单调递增；

当a＞1时，当0＜x＜1时h′（x）＞0，当1≤x＜a时h′（x）≤0，

所以h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，a）上单调递减．

综上，当a≤1时，h（x）的增区间为（0，＋∞），无减区间；

当a＞1时，h（x）增区间为（0，1），（a，＋∞）；减区间为（1，a）．

（3）不等式（x2－1）f （x）≥k（x－1）2对一切正实数x恒成立，

即（x2－1）lnx≥k（x－1）2对一切正实数x恒成立．

当0＜x＜1时，x2－1＜0；lnx＜0，则（x2－1）lnx＞0；

当x≥1时，x2－1≥0；lnx≥0，则（x2－1）lnx≥0．

因此当x＞0时，（x2－1）lnx≥0恒成立．

又当k≤0时，k（x－1）2≤0，故当k≤0时，（x2－1）lnx≥k（x－1）2恒成立．

下面讨论k＞0的情形．

当x＞0且x≠1时，（x2－1）lnx－k（x－1）2＝（x2－1）[lnx－]．

设h（x）＝lnx－（ x＞0且x≠1），
．

记△＝4（1－k）2－4＝4（k2－2k）．

① 当△≤0，即0＜k≤2时，h′（x）≥0恒成立，

故h（x）在（0，1）及（1，＋∞）上单调递增．

于是当0＜x＜1时，h（x）＜h（1）＝0，又x2－1＜0，故（x2－1） h（x）＞0，

即（x2－1）lnx＞k（x－1）2．

当x＞1时，h（x）＞h（1）＝0，又x2－1＞0，故（x2－1） h（x）＞0，

即（x2－1）lnx＞k（x－1）2．