惠州市2015届高三第一次调研考试

数 学 (理科）

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1．复数
（其中
为虚数单位）的虚部是 （ ）

2．已知集合
，
，则下列结论正确的是（ ）

3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为
人，现用分层抽样的方法从该

校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为 ( )

4．已知等差数列
的前
项和为
，若
，则
( )

5．在二项式
的展开式中，含
的项的系数是（ ）

6．若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（ ）

7．已知
都是区间
内任取的一个实数，则使得
的取值的概率是（ ）

8．已知向量
与
的夹角为
，定义
为
与
的“向量积”，且
是一个向量，它的

长度
，若
，
，则
（ ）

二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）

（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．

9． 函数
的定义域是 .

10．以抛物线
的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线方程是 .

11．用数字1,2,3,4可以排成没有重复数字的四位偶数，共有____________个.

12．设变量
满足
，则
的最大值是 .

13．函数
的定义域为
，
，对任意
，
，则
的解

集为 .

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。

14．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系中，
分别是直线
和

圆
上的动点，则
两点之间距离的最小值是 .

15．(几何证明选讲选做题)如图所示，
是等腰三角形，

是底边
延长线上一点，

且
，
，则腰长
= .

三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．）

16．（本小题满分12分）

已知
.

(1)求
的值；

(2)求
的值．

17．（本小题满分12分）

去年2月29日，我国发布了新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在
为优秀，各类人群可正常活动.惠州市环保局对我市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为
，
，
，
，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图.

(1) 求
的值；

(2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；

（注：设样本数据第
组的频率为
，第
组区间的中点值为

，则样本数据的平均值为
.）

(3) 如果空气质量指数不超过
，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取
天的数值，其中达到“特优等级”的天数为
，求
的分布列和数学期望.

18.（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱
中，平面
侧面
，且

(1) 求证：
；

(2) 若直线
与平面
所成的角为
，求锐二面角
的大小。

19．（本小题满分14分）

已知数列
中，
，前
项和
．

(1) 求数列
的通项公式；

(2) 设数列
的前
项和为
，是否存在实数
，使得
对一切正整数
都

成立？若存在，求出
的最小值；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分14分）

椭圆

的离心率为
，其左焦点到点
的距离为
．

(1) 求椭圆
的标准方程；

(2) 若直线
与椭圆
相交于
两点(
不是左右顶点)，且以
为直径的圆过椭圆
的右顶点，求证：直线
过定点，并求出该定点的坐标．

21．（本小题满分14分）

已知关于
的函数
，其导函数为
．记函数
在区间
上的最大值为
．

(1) 如果函数
在
处有极值
，试确定
的值；

(2) 若
，证明对任意的
，都有
；

(3) 若
对任意的
恒成立，试求
的最大值．

惠州市2015届高三第一次调研考试

数学 (理科）参考答案与评分标准

一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

C

B

D

A

C

A

D





1. 【解析】化简得
，则虚部为
，故选

2. 【解析】已知集合



,故选

3. 【解析】三个年级的学生人数比例为
，按分层抽样方法，在高三年级应该抽取人

数为
人，故选

4. 【解析】由题意
，等差数列中
，所以
，故选

5. 【解析】由二项式定理可知，展开式的通项为
，则
得
，所以含
项

的系数为
，故选

6. 【解析】由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的，

如图
，故选

7. 【解析】此题为几何概型，事件A的度量为函数
的图像在
内与
轴围成的图形的面积，即
，则事件A的概率为
，故选

8.【解析】由题意
，则
，
，得
，由定义知
，故选

二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．

9．
10．
11．12 12．
13．
14．
15．

9. 【解析】由
得
，则定义域为：

10．【解析】抛物线焦点
，则双曲线中：
，且
，得
，又
得
，

则双曲线的标准方程为：

11．【解析】由题意，没有重复数字的偶数，则末位是2或4，

当末位是
时，前三位将
，
，
三个数字任意排列，则

有
种排法，末位为
时一样有
种，两类共有：

种，故共有没有重复数字的偶数
个。

12．【解析】由约束条件画出可行域如图所示，

则目标函数
在点
取得最大值， 代入得
，故
的最大值为
。

13．【解析】设函数
，则
，得函数
在
上为增函数，

且
，所以当
时，有
，得
，

故不等式
的解集为

14．【解析】由题意，直线
，圆的标准方程
，则圆心
到直线
的距离为
，且圆半径
，故

15．【解析】以
为圆心，以
为半径作圆，则圆
经过点
，即
，设
与圆
交于

点
且延长
交圆
与点
，由切割线定理知
，即
，

得
，所以

三、解答题：

16．（本小题满分12分）

解：（1）∵
，则
-------------------------1分

∴?
---------------------------2分

∴?
----------------------------4分

?
----------------------------5分

（2） 原式
---------------------------7分

? ? ? ----------------------------9分