2014届第八次月考

数学试卷参考答案（文科）

7．A　→→→，输出s＝102.

8．D　由三视图可知，此几何体为半个圆台，由图中数据可知，上下底面半径分别为1，2，母线长为2，高为，故该几何体的表面积为S＝[π×12＋π×22＋π (1＋2)×2]＋×＝＋3.

9．C　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＝－2y2.因为直线的斜率不能为0，故设直线方程为x＝ky＋1，联立直线与抛物线方程得y2－16ky－16＝0，所以y1＋y2＝16k，y1y2＝－16，由y1＝－2y2得y＝32，y＝8，代入抛物线方程得x1＝2，x2＝，所以|AF|＋4|BF|＝x1＋4x2＋20＝24.

10．C　f′(x)＝ex－，x∈(0，＋∞)，设x＝t为f′(x)＝ex－＝0的解，则当x∈(0，t)时，f′(x)<0；当x∈(t，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，t)上单调递减，在(t，＋∞)上单调递增，∴f(x)min＝et－ln t，又et＝，t＝e－t，∴f(x)min＝＋t，又∵f′(1)＝e－1>0，f′()＝－2<0，∴

11．{x|1＜x≤2}　∵log(x－1)≥0，∴0＜x－1≤1，解得1＜x≤2，∴函数f(x)的定义域是{x|1＜x≤2}．

12．0　依题知|a＋b|2＝24，则|a|2＝|a＋b|2＋|b|2，所以(a＋b)⊥b，则有b·(a＋b)＝0.

13.　由条件可知圆心(1，2)到直线x－my－1＝0的距离d＝＝1，即＝1，又m>0，∴m＝.

14.　因为S12＝×12(a1＋a12)＝6(a1＋a12)，S9＝×9(a1＋a9)＝，所以＝＋2，整理得a12－a9＝3d＝，所以d＝.

15．①③⑤　依题意＝2sincos，∵sin≠0，∴2cos2＝1，∴cos(A＋B)＝0，A＋B＝，C＝，所以①正确；∵tan A＝cos B，∴tan A＝sin A，当A＝0°时成立，显然不成立，②错误；sin2A＋cos2B＝2sin2A＝1，∴sin A＝，此时A＝B＝，③正确；令y＝sin A＋sin B＝sin A＋cos A＝sin(A＋)，A∈(0，)，此时y∈(1，]，④错误；易知⑤正确．

16．解：(1)f(x)＝sin x＋cos x＝2(sin x＋cos x)

＝2(cos sin x＋sincos x)＝2sin(x＋)，

∵x∈[0，]，∴x＋∈[，]，

∴当x＋＝，即x＝时，函数f(x)取得最大值．(6分)

(2)由(1)知f(x)＝2sin(x＋)，x∈[0，]．

设u＝x＋，∴u∈[，]，y＝2sin u的图像如图所示．

∵f(x)-a＝0有两个实数根，∴a＝f(x)有两个实根，

∴≤a＜2.(12分)

17．解：(1)由题意知：P＝＝.

设演讲比赛小组中有x名男同学，则＝，∴x＝1，∴演讲小组中男同学有1人，女同学有3人.

把3名女生和1名男生分别记为a1，a2，a3，b，则选取两名同学的基本事件有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a3)，(a2， b)，(a3，a1)，(a3，a2)，(a3，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，a3)共12种.

其中恰有一名女同学的情况有6种，所以选出的两名同学恰有一名女同学的概率为P＝＝.(7分)

(2)1＝×(69＋71＋72＋73＋75)＝72，

2＝×(70＋71＋71＋73＋75)＝72，

s＝×[(69－72)2＋(71－72)2＋(72－72)2＋(73－72)2＋(75－72)2]＝4，

s＝×[(70－72)2＋(71－72)2＋(71－72)2＋(73－72)2＋(75－72)2]＝3.2.

因此第二个演讲的同学成绩更稳定.(12分)

18．(1) 证明：由题意得OM＝OD＝2,

因为DM＝2，所以OD⊥OM.

又因为四边形ABCD是菱形，所以OD⊥AC.

因为OM∩AC＝O，所以OD⊥平面ABC，

因为OD?平面MDO，所以平面ABC⊥平面MDO.（6分）

(2)解：由菱形的性质可得BO⊥AC，DO⊥AC，

又BO∩DO＝O，可得AC⊥平面BOD，

又AC?平面ABC，可得平面ABC⊥平面BOD.

根据面面垂直定理，过点D作平面ABC的垂线，垂足O′在直线OB上，所以DO′≤DO.

而VM—ABD＝VD—ABM＝×S△ABM×DO′≤×S△ABM×DO，

所以当三棱锥M—ABD的体积最大时，OD⊥平面ABC，（10分）

所以VB－ACD＝VD－ABC＝×DO×S△ABC＝×2×(×4×4×)＝.（12分）

19．解：(1)设等差数列{an}的公差为d(d∈N*)，等比数列{bn}的公比为q.

由已知，得b1q(2a1＋d)＝16,

即2q(2＋d)＝16?q(2＋d)＝8.（1分）

由
＝
?
＝4×
?
＝4?qd＝4.(2分)

∴?

∴an＝2n－1，bn＝2n.（5分）

(2)由(1)知cn＝(2n－1)·2n，

∴Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn

＝2＋3·22＋5·23＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n，①

2Tn＝22＋3·23＋5·24＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1.②

由①－②得－Tn＝2＋2·22＋2·23＋…＋2·2n－(2n－1)·2n＋1

＝2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)·2n＋1

＝2＋2×－(2n－1)·2n＋1

＝(3－2n)·2n＋1－6，

∴Tn＝(2n－3)·2n＋1＋6，

∵Tn＞2014，∴(2n－3)·2n＋1＞2008.

当n＝6时，左边＝1152＜2008，

当n＝7时，左边=2816＞2008，

∴n的最小值为7.(13分)

20．解：(1)f(x)＝x2＋2x－4ln x(x＞0)，

f′(x)＝2x＋2－＝，

当x＞1时，f′(x)＞0，当0＜x＜1时，f′(x)＜0，

∴f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，

∴f(x)min＝f(1)＝3.(5分)

(2)f′(x)＝2x＋2＋＝，

若f(x)在(0，1)上单调递增，则2x2＋2x＋a≥0在x∈(0，1)上恒成立?a≥－2x2－2x恒成立，

令u＝－2x2－2x，x∈(0，1)，则u＝－2(x＋)2＋，

∴a≥0.

若f(x)在(0，1)上单调递减，则2x2＋2x＋a≤0在x∈(0，1)上恒成立?a≤－2x2－2x恒成立，

故a≤－4.

综上，a的取值范围是(－∞，－4]∪[0，＋∞)．(13分)

21．解：(1)由（2分）

得所以椭圆方程为＋y2＝1.（4分）

(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，设直线PQ的方程为x＝my＋t，代入＋y2＝1得(m2＋4) y2＋2mty＋t2－4＝0，5分

Δ＞0，

所以（10分）

所以|y1－y2|2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝＝－36()2＋16×＝－36(－)2＋≤，当m2＝时取最大值.

所以S1－S2＝×3×|y1－y2|≤2，所以S1－S2的最大值为2.（13分）