2013学年杭州二中高三年级第五次月考数学试卷（文
科）

本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分150分, 考试时间120分钟。

选择题部分(共50分)

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。

参考公式：



球的表面积公式

S=4πR2

球的体积公式

V=
πR3

其中R表示球的半径

锥体的体积公式

V=
Sh

其中S表示锥体的底面积, h表示锥体的高

柱体的体积公式

V=Sh

其中S表示柱体的底面积, h表示柱体的高

台体的体积公式

其中S1, S2分别表示台体的上、下底面积

h表示台体的高

如果事件A, B互斥, 那么

P(A+B)=P(A)+P(B)



一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． [来源:Z。xx。k.Com]

1．设全
集
，
，
，则图
中阴影部分表示的集合
为（ ）

A．
B．
C．
D．

2．复数
（
为虚数单位）为纯虚数，则实数
的值为（
）

A.
B.

C.
D.

3. 已知q
是等比数列
的公比，则“
”是“数列
是递减数列”的（ ）条件

A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要

4．若关于直线
与平面
，有下列四个命题：

①若
,
,且
，则
；②若
,
,且
，则
；

③若
,
,且
，则
；④若
,
,且
，则
；

其中真命题的序号（ ）

A．①② B．③④ C．②③ D．①④[来源:学,科,网]

5．如图，定义某种运算
，运算原理如右图所示，则式子
的值为（ ）

A．11 B．13 C．8 D．4

6．已知焦点在
轴上的椭圆的离心率为
，它的长轴长等于圆
的半径，则椭圆的标准方程是（ ）

A．
B.
C.
D.

7．将函数
的图像平移后所得的图像对应的函数为
，则进行的平移是（ ）[来源:Z+xx+k.Com]

A．向右平移
个单位 B. 向左平移
个单位 C. 向右平移
个单位 D. 向左平移
个单位

8．已知一个棱长为
2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A．8 B．
C．
D．

9．设
，
，且满足
则

（ ）

A．1 B.2 C.3 D.4

10.函数
是函数
的导函数，且函数
在点
处的切线为
，如果函数
在
区间
上的图象如图所示，且
，那么（
）

A．
是
的极大值点 B．
=
是
的极小值点

C．
不是
极值点 D．
是
极值点

非选
择题部分 （共100分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11．若一组样本数据
，
，
，

，
的平均数为
，则该组数据的方差
.

12．设实数
满足不等式组
，则目标函数
的最小值为 .

13．设等差数列
的前n项和为Sn，
，则正整数m的值为_____________．

14.从集合
中随机选取一个数记为
，从集合
中随机选取一个数记为
，则直线
不经过第四象限的概率为 .

15．已知正实数
满足
，则
的最小值为 .

16．过双曲线
上任意一点
，作与实轴平行的直线，交两渐近线
、
两点，若
，则该双曲线的离心率为 .

17．在平面直角坐标系中，
是坐标原点，若两定点
满足
，则点集
所表示的区域的面
积是 .

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18.在
中，角
、
、
所对应的边为
、
、
.

（1）若
，求
的值；

（2）若
，且

的面积
，求
的值.

19. 已知数列
满足
，
，
.

（1）求证：数列
为等比数列；

（2）是否存在互不相等的正整数
、
、
，使
、
、
成等差数列，且
、
、
成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的
、
、
；如果不存在，请说明理由.

20.如图，四棱锥
的底面
为矩形，

且
,
,
,
，

（1）求证：平面PAD与平面PAB垂直；

（2）求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值．[来源:学科网ZXXK]

21．定义函数
为
的
阶函数.

（
1）当
时，求一阶函数
的单调区间；

（2）讨论方程
的解的个数；

（3）求证：
.

22．已知抛物线
上纵坐标为2的点到焦点的距离为3.

（1）求
的值；

（2）若
，

两点在抛物线上，满足
，其中
.则抛物线上是否存在异于
，

的点
，使得经过
、
、
三点的圆和抛物线在点
处有相同的切线？若存在，求出点
的
坐标；若不存在，说明理由.

2013学年高三年级第五次月
考数学文科
答案

ADDCB DBCDB[来源:Zxxk.Com]

11．
12．
13． 5
14.

15．
16．
17．

18.（1）由
，得
，

，
，

，

，
；[来源:Zxxk.Com]

（2）
，
，
，

由
，得
，

由余弦定理得：
，
，[来源:Z,xx,k.Com]

由正弦定理得：
，即
，
.

19.（1）因为
，所以
. 所以
.

因为
，则
.所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列；

（2）由（1）
知，
，所以
.

假设存在互不相等的正整数
、
、
满足条件，

则有
，

由
与
，

得
.

即
.

因为
，所以
.

因为
，当且仅当
时等号成立，

这与
、
、
互不相等矛盾．

所以不存在互不相等的正整数
、
、
满足条件.

20.（Ⅰ）平面
⊥平面
∵
∴

∵四棱锥
的底面
为矩形 ∴

∵
?平面
，
?平面
，且
∩
∴
⊥平面
(4分)

∵
∥
∴
⊥平面
∵
?平面

平面
⊥平面

(6分)

（Ⅱ）如图，过点
作
延长线的垂线
，垂足为
，连接
．由（Ⅰ）可知
⊥平面

∵
?平面
∴平面
⊥平面
∵
?平面
，平面
⊥平面
，

平面
∩平面
=
∴
⊥平面

∴
为
在平面
内的射影．∴
为
与底面

所成的角． (
9分)

，

，
在直角三角形
中，

在直角三角形
中，

故
[来源:学科网ZXXK]

在直角三角形
中，
，

故直线
与平面
所成角的正弦值
. (12分)

21．(1)
,

令
,当
时,

当
时,
无单调区间；

当
时,
的单增区间为
单减区间为
.

当
时,
的单增区间为
,单减区间为

. 4分.

(2)由
当
时,方程无解.当
时,

令
则
由
得

从而
在
单调递增,在
单调递减.
[来源:学.科.网]

当
时,
，当

当
,即
时,方程有两个不同解.

当
,即
时,方程有0个解

当
,
或即
或
时,方程有唯一解.

综上,当
时,方程有两个不同解.当
时,方程有0个解.当
或
时,方程有唯一解.
9分.

(3)特别地，当
时

由
得
.[来源:Z#xx#k.Com]

由
得

则
在
单调递增,在
单调递减.

即
.

22．（1）
；

（2）（i）设
，
两点的坐标为
，且
，

∵
，可得
为
的中点，即
．

显然直线
与
轴不垂直，设直线
的方程为

，即
，

将
代入
中，得
． 2分

∴
∴
． 故
的取值范围为
．

（ii）当
时，由（i）求得
，
的坐标分别为

假设抛物线
上存在点
（
且
），使得经过
、
、
三点的圆和抛物线
在点
处有相同的切线．设圆的圆心坐标为

，

∵
∴

即
解得

∵抛物线
在点
处切线的斜率为
，而
，且该切线与
垂直，

∴
．即
．

将
，
代入上式，得
．

即
．∵
且
，∴