安徽省六校教育研究会2014届高三2月联考

数学（理科）试题

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．

2．答题前，请考生务必将答题卷左侧密封线内的项目填写清楚．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题卷上，在试题卷上作答无效.

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数
，其中
是虚数单位，则复数
的模为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D） 2

2．已知命题
：“
是
”的充分必要条件”；命题
：“存在
，使得
”，下列命题正确的是（ ）

(A)命题“
”是真命题

(B)命题“
”是真命题

(C)命题“
”是真命题

(D)命题“
”是真命题

3．执行如图所示的程序框图．若输出
， 则框图中① 处可以填入（ ）

(A)
？ (B)
？ (C)
？ (D)
？

4．在极坐标系中，点
和圆
的圆心的距离为( )

(A)
(B) 2 (C)
(D)

5．在平行四边形
中，
与
交于点
是线段
的中点，
的延长线与
交于点
．若
，
，则
（ ）

(A)
(B)
(C)
(D)

6．数列
的首项为3，
为等差数列且
，

若
,
,则
（ ）

(A) 0 (B) 3 (C) 8 (D) 11

7．某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，

最大的是（ ）

（A）
（B）
(C)
(D)

8．有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

9．设
，
分别为双曲线
：

的左、右焦点，
为双曲线的左顶点，以
为直径的圆交双曲线某条渐近线于
、
两点，且满足
，则该双曲线的离心率为（ ）

(A)
(B)
(C)
(D)

10．若实数
满足
，则
的最小值为（ ）

(A)
(B) 2 (C)
(D) 8

第II卷（非选择题，共100分）

二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡的相应位置。

11．已知
则二项式
的展开式中
的系数为 ．

12．如图所示，第
个图形是由正
边形拓展而来（
），则第
个图形共有____ 个顶点．

13．若不等式组
表示的平面区域是一个锐角三角形，则实数
的取值范是 . [来源:

14．抛物线
绕
轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体,在此旋转体内水平放入一个正方体,该正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐,则此正方体的棱长是 ．

15．对于函数
，若存在区间
，使得
，则称区间
为函数
的一个“好区间”．给出下列4个函数：

①
；②
；③
；④
．

其中存在“好区间”的函数是　 　． （填入所有满足条件函数的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内。

16．（本小题满分12分）

已知向量
，
，函数

（Ⅰ）求
的最大值；

（Ⅱ）在
中，设角
，
的对边分别为
，若
，且
?，求角
的大小．

17.（本小题满分12分）

等边三角形
的边长为3,点
、
分别是边
、
上的点,且满足

(如图1).将△
沿
折起到△
的位置,使二面角
为直二面角,连结
、
(如图2).

（Ⅰ）求证:
平面
;

（Ⅱ）在线段
上是否存在点
,使直线
与平面
所成的角为
?若存在,求出
的长,若不存在,请说明理由.

18．（本小题满分12分）

设各项均为正数的数列
的前
项和为
，满足
且
恰好是等比数列
的前三项．

（Ⅰ）求数列
、
的通项公式；

（Ⅱ）记数列
的前
项和为
,若对任意的
，
恒成立，求实数
的取值范围．

19．（本小题满分12分）

生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为

次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：

测试指标













元件A

8

12

40

32

8



元件B

7

18

40

29

6



 （Ⅰ）试分别估计元件A、元件B为正品的概率；

（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（Ⅰ）的前提下；

（i）求生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率；

（ii）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．

20．（本小题满分13分）

已知
为函数
图象上一点，
为坐标原点，记直线
的斜率
．

(Ⅰ)若函数
在区间

上存在极值，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）如果对任意的
，
，有
，求实数
的取值范围．

21．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系
中，已知
分别是椭圆
的左、右焦点，椭圆
与抛物线
有一个公共的焦点，且过点
.

(Ⅰ)求椭圆
的方程;

(Ⅱ) 设点
是椭圆
在第一象限上的任一点,连接
,过
点作斜率为
的直线
,使得
与椭圆
有且只有一个公共点,设直线
的斜率分别为
,
,试证明
为定值,并求出这个定值；

（III）在第(Ⅱ)问的条件下，作
，设
交
于点
，

证明:当点
在椭圆上移动时，点
在某定直线上.

安徽省六校教育研究会2014届高三联考

数学（理科）答案

选择题(5'×10=50')

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

B

B

A

C

B

D

D

A

D



二、填空题(5'×5=25')

11）、-80；　12）、
； 13)、
；　14）、
；　15）、②③④。

三、解答题（75分）

16．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）
………………2分
…………4分（注：也可以化为
）所以
的最大值为
．……6分（注：没有化简或化简过程不全正确，但结论正确，给4分）

（Ⅱ）因为
，由（1）和正弦定理，得
．……7分

又
，所以
，即
， ……9分

而
是三角形的内角，所以
，故
，
， ……11分

所以
，
，
． …………12分

17.（本小题满分12分）

证明:(1)因为等边△
的边长为3,且

,

所以
,
. 在△
中,
,

由余弦定理得
. 因为
,

所以
. ………………………3分

折叠后有
,因为二面角
是直二面角,

所以平面

平面
,又平面

平面

,

平面
,
, 所以
平面
.…………6分

(2)解法1:假设在线段
上存在点
,使直线
与平面
所成的角为
.

如图,作
于点
,连结
、
，

由(1)有
平面
,而
平面
,

所以

,又
, 所以
平面
,

所以
是直线
与平面
所成的角 , ………………………8分

设

,则
,
,在
△
中,
,所以
,在
△
中,
,
,由
, 得
,解得
,满足
,符合题意 所以在线段
上存在点
,使直线
与平面
所成的角为
,此时
………………………12分

解法2:由(1)的证明,可知
,
平面
.

以
为坐标原点,以射线
、
、
分别为
轴、
轴、
轴的正半轴,建立空间直角坐标系
如图 ,设

, 则
,
,
,所以
,
,
,所以
,因为
平面
, 所以平面
的一个法向量为
, ………………………9分

因为直线
与平面
所成的角为
, 所以
,
, 解得
,即
,满足
,符合题意,所以在线段
上存在点
,使直线
与平面
所成的角为
,此时
. ………………………12分

18．（本小题满分12分）

（Ⅰ）当
时，
，

,
………………2分

当
时，
是公差
的等差数列.
构成等比数列，
，
，解得
,…………3分

由条件可知，
………………4分

是首项
,公差
的等差数列.

数列
的通项公式为
.………………5分,

数列
的通项公式为
………………6分

(Ⅱ)
，
对
恒成立，
对
恒成立，----9分，

令
，
，当
时，
，当
时，

，
．…………12分

19（本小题满分12分）

（Ⅰ）由题可知 元件A为正品的概率为
，元件B为正品的概率为
。……………2分

（Ⅱ）（i）设生产的5件元件中正品件数为
，则有次品5
件，由题意知
得到
，设“生产5件元件B所获得的利润不少于300元”为事件
，则
。……………………………6分

（ii）随机变量
的所有取值为150,90,30，-30，

则
，
，
，

，

所以
的分布列为：

150

90

30

-30















 …………………10分

…………………………12分

（20）（本小题满分13分）

解：（1）由题意
，
，所以
………2分

当
时，
；当
时，
．所以
在
上单调递增，在
上单调递减，故
在
处取得极大值． ……………………3分

因为函数
在区间
（其中
）上存在极值，所以
，得
．即实数
的取值范围是
． ……………6分

（Ⅱ）由(Ⅰ)知，
在
上单调递减，不妨设
，则

函数
在
上单调递减。……………8分

由
，则
在
上恒成立，所以
在
上恒成立，所以，故
.………………13分

21．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）解(Ⅰ)由题意得
，又
，………………………2分

消去
可得，
，解得
或
（舍去），则
，

求椭圆
的方程为
．……………………4分

(Ⅱ)设直线
方程为
，并设点
，

由
.

，………………………6分

，当
时
，直线与椭圆相交，所以
，
，

由
得
，
，…………………8分

，整理得：
.而
,代入
中得

为定值. ……………………10分

（用导数求解也可，若直接用切线公式扣4分，只得2分）

（III）
的斜率为：
，又由

,

从而得直线
的方程为：
,联立方程
,

消去
得方程
，因为
， 所以
，

即点
在直线
上. ………………………14分