黑龙江省大庆一中2014届高三学年上学期第三阶段考试（数学文）

一、单项选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是最符合题意的。每小题5分，12小题，共60分。）

1. 设集合
，则

A．
B．

C．
D．

2．设
为等比数列
的前项和，
，则

A.
B.
C.
D.15

3．函数
最小值是

A．-1 B.
C.
D.1

4. 设P是△ABC所在平面内的一点，
，则

A.
B.
C.
D.

5. 已知等比数列
中有
，数列
是等差数列，且
，则

A.2 B.4 　 C.8 　 D. 16

6．已知
是函数
的零点，若
，则
的值满足

A.
与
均有可能 B.

C.
D.

7．等 腰三角形
中，
边中线上任意一点，则
的值为

A.
B.
C.5 D.

8．数列
的前项和为
，若
，则
＝(　　)

A．
B．
C．
D．1

9. 已知
，则

A.
B.
C.
D.

10. 函数
的部分图象如

图所示．若函数
在区间
上的值域为

, 则
的最小值是

A．4　 　 B．3 C．2　 D．1

11．设F为抛物线
的焦点，A、B、C为该抛物线上三点。若
+
+
=
，

则|
|+|
|+|
|=（ ）

A．4 B．6 C．9 D．12

二．填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

15.
__________ __

16．对于
,有如下几个结论：

①若
,则
为等腰三角形；

②若Sn是等比数列
的前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列。

③若
，则
是直角三角形；

④若
,则
是等边三角形；

⑤P在
所在平面内，且
，则点P是
的垂心。

其中正确的结论序号是_______________

三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 设函数
，其中a＞0。

⑴当a＝1时，求不等式
的解集;

⑵若不等式
的解集为
，求a的值。

18．已知公差不为零的等差数列
的前
项和
，且
成等比数列.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若数列
满足
，求数列
的前项和
.

19．已知
的三个内角、、
的对边分别为、
、，且
．

(Ⅰ) 求
的值；

(Ⅱ)若
，求
周长的最大值。

20.如图1，在四棱锥
中，
底面
，面
为正方形，为侧棱
上一点，为
上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．

（Ⅰ）求四面体
的体积；

（Ⅱ）证明：
∥平面
；

（Ⅲ）证明：平面
平面
．

21． 已知椭圆
：

的两个焦点分别为
，
，离心率为
，且过点
.

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）
，
，，
是椭圆
上的四个不同的点，两条都不和轴垂直的直线
和
分别过点
，
，且这两条直线互相垂直，求证：
为定值.

22. 已知函数
.

(Ⅰ)若曲线
在
和
处的切线互相平行，求的值；

(Ⅱ)求
的单调区间；

(Ⅲ)设
，若对任意
，均存在
，使得
，求的取值范围.

大庆一中高三年级上学期第三次阶段考试试题答案

一.选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



A

B

B

B

C

D

A

C

D

B

C

B



二．填空题

14.a>c>b 15.
16. ④⑤

三．解答题

18. (Ⅰ) 设等差数列
的公差为d,由已知得：

因为
所以

所以
，所以

所以

19. 解 （Ⅰ）∵b2+c2=a2+bc，∴a2=b2+c2-bc，结合余弦定理知cosA=，又
∴A=，

∴2sinBcosC-sin(B-C)= sinBcosC+cosBsinC

=sin(B+C)=sinA=

(Ⅱ)由a=2，和正弦定理，得

b+c=sinB+sinC =sinB+sin(-B)

=2sinB+2cosB=4sin(B+)，

∵0

此时周长a+b+c的最大值为6 ．

20.（Ⅰ）解：由左视图可得为
的中点，

所以 △
的面积为

因为
平面
，

所以四面体
的体积为

． ………………4分

（Ⅱ）证明：取
中点
，连结
，
．

由正（主）视图可得为
的中点，所以
∥
，
．又因为
∥
，
， 所以
∥
，
．

所以四边形
为平行四边形，所以
∥
．

因为
平面
，
平面
，

所以 直线
∥平面
．

（Ⅲ）证明：因为
平面
，所以
．

因为面
为正方形，所以
．

所以
平面
．

因为
平面
，所以
．

因为
，为
中点，所以
．

所以
平面
．

因为
∥
，所以
平面
．

因为
平面
， 所以 平面
平面
.

21. 解：由已知
，

所以
.

所以
.

所以
：
，即
.

因为椭圆
过点
，

得
，
.

所以椭圆
的方程为
.

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知椭圆
的焦点坐标为
，
.

根据题意， 可设直线
的方程为
，

由于直线
与直线
互相垂直，则直线
的方程为
.

设
，
.

由方程组
消得

.

则

.

所以

=
.

同理可得

.

所以



.

22. 解：

. 1分

（Ⅰ）
，解得
. ---------3分

（Ⅱ）

. 4分

①当
时，
，
，

在区间
上，
；在区间
上
，

故
的单调递增区间是
，

单调递减区间是
. 5分

②当
时，
，

在区间
和
上，
；在区间
上
，

故
的单调递增区间是
和
，

单调递减区间是
. 6分

③当
时，
， 故
的单调递增区间是
. 7分

④当
时，
，

在区间
和
上，
；在区间
上
，

故
的单调递增区间是
和
，单调递减区间是
. 8分

（Ⅲ）由已知，在
上有
.9分

由已知，
，由（Ⅱ）可知，

①当
时，
在
上单调递增，

故
，

所以，
，解得
，

故
. 10分

②当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，

故
.

由
可知
，
，
，

所以，
，
， 11分

综上所述，
. 12分