白鹭洲中学2013—2014年上学期高三年级期中考试

数学试卷（理科）

命题人：郭士华 审题人：杨承春

考生注意：

本试卷设Ⅰ、Ⅱ卷和答题卡纸三部分，试卷所有答案都必须写在答题纸上。

答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。

考试时间为120分钟，试卷满分为150分。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1. 下列函数中，既是偶函数又在
单调递增的函数是 （ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知集合
，
，
，则
中元素个数是 （ ）

A． 　 　 B．
　　 C． 　 　 D．

3．若
，且
，则
的值为 （　　）

A．1或
B．1 C．
D．

4．等差数列
的前项和为
的值 （ ）

A．18 　　　　 B．20 　　　　　 C．21 　　　　　D．22

5. 若
，则“
”是 “
” 的 （ ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

6．已知与
均为单位向量,其中夹角为
,有下列四个命题

:


∈[0,
)
:


∈(
,]

:


∈[0,
)
:


∈(
,]

其中真命题是 （　　）

A．
,
B．
,
C．
,
D．
,

7．如图，ΔABC中，
= 600,
的平分线交BC 于D,若

AB = 4,且
,则AD的长为（ ）

A.

B.
C.
D.

8．设函数
的图像关于直线
对称,它的周期是,则 （ ）

A．
的图象过点

B.
在
上是减函数

C.
的一个对称中心是
D. 将
的图象向右平移
个单位得到函数
的图象.

9.已知等差数列
的公差
不为0，等比数列
的公比q是小于1的非零实数。若
，
且
是正整数，则q的值可以是 （ ）

A.
B.-
C.
D.-

10.已知二次函数
的导数
，且
的值域为
，则
的最小值为 （ ）

A.3 B.
C.2 D.

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．若数列{
}的前n项和为Sn=
,nN
,则数列{
}的通项公式是
=______.

12．
,
若对任意
,
恒成立,则a的取值范围是________

13．若方程
仅有一解,则实数的取值范围是_________.

14.已知函数
若
使得
，

则实数的取值范围是 .

15.下列命题：

①函数
在
上是减函数；

②点A（1，1）、B（2，7）在直线
两侧；

③数列
为递减的等差数列，
，设数列
的前n项和为
，则当
时，
取得最大值；

④定义运算

则函数
的图象在点
处的切线方程是

其中正确命题的序号是 （把所有正确命题的序号都写上）.

三、解答题（本大题共6个小题，共75分）

16．（本小题满分12分）已知
，
．

（1）求
的值；（2）求函数
的值域．

17．（本小题满分12分）已知向量
，
，设函数

（1）求函数
的最大值；

（2）在
中，为锐角，角
的对边分别为
，
且
的面积为3，
求的值．

18．（本小题满分12分）已知等差数列
的首项
，公差
．且
分别是等比数列
的
．

（1）求数列
与
的通项公式；

（2）设数列
对任意正整数均有
…
成立，求
…
的值.

19．（本小题满分12分）某单位设计了一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在直线
上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA，AD再用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A和∠C互补，且AB=BC。

（1）设AB=x米，cosA=f(x)，求
的解析式，

并指出x的取值范围；

（2）求四边形ABCD面积的最大值．

20. (本小题满分13分)A﹑B﹑C是直线
上的三点，点
是直线
外一点，向量
﹑
﹑
满足：
-[y+2
]·
+ln(x+1)·
=
；

（1）求函数y=f(x)的表达式；

（2）若x＞0, 证明f(x)＞
；

（3）当
时,x
及b
都恒成立，求实数m的取值范围。

21．(本小题满分14分)

已知函数
.

（1）求函数
的最小值；

（2）若
≥0对任意的
恒成立，求实数的值；

（3）在（2）的条件下，证明：

白鹭洲中学2013—2014年上学期高三年级期中考试

数学试卷（理科）

考生注意：

1、考生务必用黑色签字笔填写试题答案，字体工整、笔记清楚。 总分：

2、答题前，请考生叫密封线内的姓名、班级、考号填写清楚。

3、保持卷面整洁，不得折叠、不要弄破。

一、选择题（5×10=50）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10















































二、填空题（5×5=25）

11、 12、 13、 　

14、 15、 　　

三、解答题（本大题共6小题，共计75分。）

16（本题满分12分）

17（本题满分12分）

18（本题满分12分）

19（本题满分12分）

20（本题满分13分）

21（本题满分14分）

白鹭洲中学2013—2014年上学期高三年级期中考试

数学试卷（理科）参考答案和评分标准

一、选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

























B

B

Ａ

B

Ａ

Ａ

Ｂ

Ｃ

C

Ｃ





二、填空题

11、
. 12、
13、
　

14
15.、 ②④

三、解答题

16. 解：（Ⅰ）因为
，且
，所以
，
．

因为

．所以
． …………6

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
． 所以

，
． 因为
，所以，当
时，
取最大值
；当
时，
取最小值
．

所以函数
的值域为
． ……………………12分

17．

18、

19解析．（Ⅰ）在△ABD中，由余弦定理得

BD2＝AB2+AD2－2AB·AD·cosA．

同理，在△CBD中，BD2＝CB2+CD2－2CB·CD·cosC． ………………… 2分

因为∠A和∠C互补，

所以AB2+AD2－2AB·AD·cosA＝CB2+CD2－2CB·CD·cosC

＝CB2+CD2＋2CB·CD·cosA． ………… 3分

即 x2+(9－x)2－2 x(9－x) cosA＝x2+(5－x)2＋2 x(5－x) cosA．　

解得 cosA＝，即f( x)＝．其中x∈(2，5)．　　 ……………………… 5分

（Ⅱ）四边形ABCD的面积

S＝(AB·AD+ CB·CD)sinA＝[x(5－x)+x(9－x)]．　

＝x(7－x)＝＝．………… 8分

所以g(x)＝(x2－4)( x2－14x＋49)，x∈(2，5)．

由g′(x)＝2x( x2－14x＋49)＋(x2－4)( 2 x－14)＝2(x－7)(2 x2－7 x－4)＝0，

解得x＝4(x＝7和x＝－舍)． ……………………… 10分

所以函数g(x)在区间(2，4)内单调递增，在区间(4，5)内单调递减．

因此g(x)的最大值为g(4)＝12×9＝108．……………………… 11分

四边形ABCD的面积最大值为6

答：四边形ABCD的面积最大值为6． ……………………… 123

20.解I）由三点共线知识，

∵
,∴
,∵A﹑B﹑C三点共线，

∴
∴
.

∴
∴
，∴f(x)=ln(x+1)………………4分

(Ⅱ)令g(x)=f(x)－
,由
，∵x>0∴

∴g(x)在 (0,+∞)上是增函数,故g(x)>g(0)=0,即f(x)>
;………8分

（III）原不等式等价于
,令

h(x)=
=
由

当x∈[-1,1]时,[h(x)]max=0, ∴m2-2bm-3≥0,令Q(b)= m2-2bm-3，则由Q(1)≥0及Q（-1)≥0解得m≤-3或m≥3. …………13分

21.解：（1）由题意
，由得

当
时,
；当时，
.

∴
在
单调递减，在
单调递增. ……………………3分

即
在
处取得极小值，且为最小值，

其最小值为
…………4分

（2）
对任意的
恒成立，即在
上，
.

由（1），设
，所以
.

由
得
.

易知
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，

∴
在
处取得最大值，而
.

因此
的解为
，∴
. ………………8分

（3）由（2）知，对任意实数均有
，即
.

令

，则
.

∴
.……………………………………………………………………10分

∴

. ……………………14分