2013-2014学年度第一学期检测试题

高 三 数 学 参 考 答 案

1、
2、
3、
4、

5、
6、
7、1 8、1

9、
10、
11、
12、2

13、0、2 14、

解析：设直线
与坐标轴的交点分别为
，
，显然
，
．

则直线
：
，依题意：
，即
，所以
，

所以
，设
，

则

设
，则
，
，
，

又
，故当
时，
单调递减；当
时，
单调递增；

所以当
，
时，
有最小值．

15、（1）由
得

即
， 2分

当
时，由
得
或
4分

所以
7分

（2）由
得
或

即
9分

因为
，所以

， 12分

即
. 14分

16、（1）因为
，所以
，

即：
3分

因为
，所以
，故
， 5分

因为
，所以
. 7分

（2）由（1）可知，因为
，
，

所以
， ① 9分

又
， ②

由①②解得
11分

所以
14分

17、（1）方法一：圆的方程可化为
，直线可设为
，

即
，圆心
到直线的距离为
，

依题意
，即
，

解之得：
； 7分

方法二：由

可得：
，

依题意
，

解之得：
．

（2）方法一：因为
，且
斜率为
，故直线
：
，

由

可得
，

又
是
中点，所以
，即
，

解之得：
． 15分

方法二：设
，
，则

由

可得：
，

所以
，

又
，且
斜率为
，

所以
，即
，也就是
，

所以
，解之得：
．

方法三：点
的坐标同时满足

，解此方程组，消去
可得
．

18、解法一：以C为坐标原点，CB所在直线为轴，CA所在直线为轴建立直角坐标系，

2分

则
，
，
，
，
．

DE直线方程：
，① 4分

AB所在直线方程为
，② 6分

解①、②组成的方程组得，
， 8分

∵直线
经过点B时
，∴
，

10分

=
，设
，

=
，

（当且仅当
，即
时取等号），此时
，

∴当
=60时，绿化面积最小，从而运动区域面积最大． 15分

解法二：如图，分别过点
作
的垂线，垂足为
，设
，则

若如图1所示，则
，

由
得
，即
，从而
，
，

由
得
，解得

（若如图2所示，则
，
，
，
，由
得
，解得
）

由
得
，

由
（下同解法一）

19、（1）依题意，
，则
，

∴
，又
，∴
，则
，

∴椭圆方程为
． 4分

（2）①由题意知直线
的斜率存在且不为0，设直线
的斜率为
，则
：
，

由
得
或

∴
， 6分

用
去代
，得
，

方法1：
，

∴
：
，即
，

∴直线
经过定点
．

方法2：作直线
关于轴的对称直线
，此时得到的点
、
关于轴对称，则
与
相交于轴，可知定点在轴上，

当
时，
，
，此时直线
经过轴上的点
，

∵

∴
，∴、
、三点共线，即直线
经过点，

综上所述，直线
经过定点
． 10分

②由
得
或
∴
，

则直线
：
，

设
，则
，直线
：
，直线
：
，

13分

假设存在圆心为
，半径为
的圆
，使得直线
和直线
都与圆
相交，

则
由（）得
对
恒成立，则
，

由（）得，
对
恒成立，

当
时，不合题意；当
时，
，得
，即
，

∴存在圆心为
，半径为
的圆
，使得直线
和直线
都与圆
相交，所有的取值集合为
． 16分

20、解：（1）方法一：
在
上恒成立，即为
在
上恒成立，

①
时，结论成立；

②
时，

函数
图象的对称轴为
，

所以函数
在
单调递增，

依题意
，即
，

所以
；

③
不合要求，

综上可得，实数的取值范围是
． 4分

方法二：
在
上恒成立等价于
，

令

因为
，所以
，故

所以
.

（2）

设
，
，过点
的两切线互相平行，

则
，所以
（舍去），或
，

过点
的切线
：
，即
，

6分

过点
的切线
：

两平行线间的距离是

，

因为
，所以

即两平行切线间的最大距离是
． 10分

（3）
，设
存在“好点”
，

由
，得
，

依题意
对任意
恒成立，

因为

，

， 13分

所以
对任意
恒成立，

①若
，
不可能对任意
恒成立，

即
时，不存在“好点”；

②若
，因为当
时，
，

要使
对任意
恒成立，

必须

，所以
，

综上可得，当
时，不存在“好点”；

当
时，存在惟一“好点”为
． 16分

21．解：矩阵
的特征多项式是
，

由
得
，

令
，则
或
，

解方程组

可得一组不为零的解是

所以矩阵的另一个特征值是
，属于
的一个特征向量是
．

22．解：（1）

第2项的二项式系数与第3项的二项式系数之比为1：7.

，解得
5分

（2）由（1）得
，令
，则
，

所以常数项为第
项，
10分

23．解：（1）依题意：每次取到偶数的概率为
，

设表示事件“有放回的抽取
次卡片，每次抽取一张，恰有两次取到卡片的数字为偶数”

则
； 5分

（2）依题意：
，

则
，
，

，所以
的分布列为：



















所以，
10分

24．解：（1）设
，由
得：

，即
，

所以点的轨迹
的方程是：

，且
， 3分

（2）因为
，所以
，设
，
，

则
，
，

由于
是曲线的切线，所以
，

即
，同理
，

两式相减可得
，

又
，故
，

①若
，则
，所以
，

由

，得
，
，此时
； 6分

②若
，则
，即

化简得：
，即
，
，

又
，即

由

可得

所以
，

③若
，同理可得
；

综上可得，所求点
有两个：
，和
10分