上海市长宁、嘉定区2013届高三第二次模拟

数学（理）

一．填空题（本大题满分56分，共14小题，每小题4分）

1．函数
的最小正周期是__________．

2．若关于的不等式
的解集为
，则实数
_________．

3．（理）已知集合
，若
，则实数的取值范围

是 ．

4．已知复数满足
＝3，则复数的实部与虚部之和为__________．

5．求值：
___________．

6．已知向量
不超过5，则k的取值范围是____________．

7．设
，行列式
中第3行

第2列的代数余子式记作，函数
的反函

数图像经过点
，则
　 ．

8．（理）如图是一个算法框图，则输出的
的值

是 _______．

9．（理）已知
，且
，则

．

10．（理）设函数
，则将
的曲线绕轴旋转一周所得

几何体的体积为____________．

11．（理）抛掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数是偶数的事件为，向上的点数大于

且小于或等于
的事件为，则事件
的概率
____________．

12．（理）设定义域为的函数
，若关于的方程

有三个不同的实数解
，则
____________．

13.（理）函数
的最大值和最小值分别为
，则
______．

14．（理）设
为数列
的前项和，若不等式
对任意等差数列
及任意正整数都成立，则实数的最大值为

二．选择题（本大题满分20分，共4小题，每小题5分）

15. 已知
，
是坐标平面上不与原点重合的两个点，则
的充要条件是 （　　）

A．
B.
C.
D.

16.（理）关于直线，及平面α，β，下列命题中正确的是 （ ）

A．若
则
B．若
则

C．若
则
D．若
，则

17. 过点
作直线与双曲线
交于A、B两点，使点P为AB中点，则这样的直线 （ ）

A．存在一条，且方程为
B．存在无数条

C．存在两条，方程为
D．不存在

18. （理）已知
且
，函数
在区间
上既是奇函数又是增函数，则函数
的图象是 ( )

三．解答题（本大题满分74分，共5小题）

19. （理）（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）

如图：已知
平面
，
，
与平面
所成的角为
，且
．

（1）求
与平面
所成角的大小；

（2）求点到平面
的距离．

20. （本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）

在△
中，角，，
所对应的边，
，成等比数列．

（1）求证：
；

（2）求
的取值范围．

21.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分）

设函数
是定义域为的奇函数．

（1）求
的值；

（2）（理）若
，且
在
上的最小值为
，求的值．

22.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分）

如图，已知点
，直线：
，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点
，且
．

（1）求动点的轨迹
的方程；

（2）（理）过轨迹
的准线与轴的交点
作直线
与轨迹
交于不同两点、，且线段
的垂直平分线与轴的交点为
，求
的取值范围；

（3）（理）对于（2）中的点、，在轴上是否存在一点，使得△
为等边三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题6分）

（理）已知三个互不相等的正数，
，成等比数列，公比为．在，
之间和
，之间共插入个数，使这
个数构成等差数列．

（1）若
，在
，之间插入一个数，求的值；

（2）设
，
，问在，
之间和
，之间各插入几个数，请说明理由；

（3）若插入的个数中，有个位于，
之间，个位于
，之间，试比较与的大小．

数学理（参考答案）

一、填空题（每小题4分，共56分）

1． 2。
3。（理）
4。
5。
6.
7。

8．（理）
9。（理）
10。（理）

11．（理）
12。（理）
13。（理） 14．（理）

二、选择题（每小题5分，共20分）

15．B 16。B 17。D 18。（理）A

三、解答题

19．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）

（理）解：（1）因为
平面
，所以
，又
，所以
平面
，

就是
与平面
所成的角． ………………2分

因为
平面
，
与平面
所成的角为
，故
，

由
，得
，
， ………………4分

所以
，

所以
与平面
所成角的大小为
． ………………6分

（2）设点到平面
的距离为
，由（1）可得
，
，

则
，………………8分

．………………10分

由
，得
．

所以点到平面
的距离为
．………………12分

（文）解：（1）由题意
，解得
. ………………2分

在△
中，
，所以
．

在△
中，
，所以
． ………………4分

所以

． ………………6分

（2）取
中点
，连接
，
，则
，

得
或它的补角为异面直线
与
所成的角. ………………8分

又
，
，得
，
，

由余弦定理得
， ………………10分

所以异面直线
与
所成角的大小为
． ………………12分

20．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）

解：（1）由已知，
，所以由余弦定理，

得
………………2分

由基本不等式
，得
．………………4分

所以
．因此，
．………………6分

（2）
，

………………9分

由（1），
，所以
，所以
，

所以，
的取值范围是
． ………………12分

21．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分）

（理）解：（1）由题意，对任意
，
，

即
， ………………2分

即
，
，

因为为任意实数，所以
． ………………4分

解法二：因为
是定义域为的奇函数，所以
，即
，
．

当
时，
，
，
是奇函数．

所以
的值为． ………………4分

（2）由（1）
，因为
，所以
，

解得
． ………………6分

故
，
，

令
，则
，由
，得
，

所以
，

………………9分

当
时，
在
上是增函数，则
，
，

解得
（舍去）． ………………11分

当
时，则
，
，解得
，或
（舍去）．

………………13分

综上，的值是． ………………14分

（文）解：（1）由题意，对任意
，
，即
，

………………2分

即
，
，

因为为任意实数，所以
． ………………4分

解法二：因为
是定义域为的奇函数，所以
，即
，
．

当
时，
，
，
是奇函数．

所以
的值为． ………………4分

（2）由（1）知
，由
，得
，解得
．

………………6分

当
时，
是减函数，
也是减函数，所以
是减函数．

………………7分

由
，所以
，………………8分

因为
是奇函数，所以
． ………………9分

因为
是上的减函数，所以
即
对任意
成立， ………………11分

所以△
， ………………12分

解得
． ………………13分

所以，的取值范围是
． ………………14分

22．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分）

（理）解：（1）设
，由题意，
，
，
，

，
， ………………2分

由
，得
，

化简得
．所以，动点的轨迹
的方程为
． ………………4分

（2）轨迹
为抛物线，准线方程为
，

即直线，所以
， ………………6分

设直线
的方程为
（
），由
得
，

由△
，得
． ………………8分

设
，
，则
，

所以线段
的中点为
， ………………9分

所以线段
垂直平分线的方程为
，………………10分

令
，得
． ………………11分

因为
，所以
． ………………12分

（3）由（2），
，
，所以

． ………………14分

假设存在点
，使得△