上海市奉贤区2013届高三年级第二学期4月调研测试

数学（理科）试题

（考试时间：120分钟，满分150分） 2013、4、18

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1、函数
的最小正周期是_____________

2、在
的二项展开式中，常数项是

3、已知正数、满足
，则
的最小值是

4、执行如图所示的程序框图，输出的值为

5、已知直线
与函数
及函数
的图像分别相交

于、两点，则、两点之间的距离为

6、用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的母线与底面所在的

平面所成角为
，容器的高为10cm，制作该容器需要 cm2

的铁皮

7、若实数t满足f(t)＝－t，则称t是函数f(x)的一个次不动点．

设函数
与反函数的所有次不动点之和为m，则m＝______

8、关于的方程

的一个根是

，

在复平面上的一点对应的复数满足
，则
的取值范围是

9、在极坐标系中，直线
的位置关系是 _

10、已知函数
，且
，

则不等式
的解集是

11、设
是定义在上以2为周期的偶函数，已知
，
，则函数
在
上的解析式是

12、设正项数列
的前项和是
，若
和{
}都是等差数列，且公差相等，

则

13、椭圆
上的任意一点
(除短轴端点除外)与短轴两个端点
的连线交轴于点
和，则
的最小值是

14、如图放置的等腰直角三角形ABC薄片(∠ACB＝90°，AC＝2)

沿x轴滚动，设顶点A(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，当
[0,
]时

y＝f(x)= _____________

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15、下列命题中正确的是（ ）

（A）函数
与
互为反函数

（B）函数
与
都是增函数

（C）函数
与
都是奇函数

（D）函数
与
都是周期函数

16、设事件，，已知
=
，
=
,
=
，则，之间的关系一定为（ ）

(A)两个任意事件 (B)互斥事件 (C)非互斥事件 (D)对立事件

17、数列
前项和为
，已知
，且对任意正整数
，都有
，若
恒成立，则实数的最小值为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）4

18、直线
与双曲线
的渐近线交于
两点，设为双曲线
上的任意一点，若
(
为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19、长方体
中，底面
是正方形，
，是
上的一点．

⑴求异面直线
与
所成的角；

⑵若
平面
，求三棱锥
的体积；

第19（理）题 第20题

20、 位于A处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与相距20
海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东

的C处，
．在离观测站A的正南方某处E，

（1）求
； （2）求该船的行驶速度v（海里/小时）；

21、三阶行列式
，元素

的代数余子式为
，
，

(1) 求集合；

(2)函数
的定义域为
若
求实数的取值范围；

22、已知数列{an}中，a2=1，前n项和为Sn，且
．

（1）求a1，a3；

（2）求证：数列{an}为等差数列，并写出其通项公式；

（3）设
，试问是否存在正整数p，q(其中1

23、动圆
过定点
，且与直线
相切，其中
.设圆心
的轨迹的程为

（1）求
；

（2）曲线上的一定点
(
0) ，方向向量
的直线
（不过P点）与曲线交与A、B两点，设直线PA、PB斜率分别为
，
，计算
；

（3）曲线上的两个定点
、
，分别过点
作倾斜角互补的两条直线
分别与曲线交于
两点，求证直线
的斜率为定值；

参考答案

一、填空题

1．； 2．
； 3．；

4．62； 5．
； 6．
；

7． 0； 8．
； 9．相离；

10．
； 11．
12．

13．
14．
（每空2分）

二、选择题

15． C 17． A

16． B 18． B

三、解答题

19、以为原点，
、
、
所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系 1分

⑴依题意，
，
，
，
，

所以
，
3分

所以
， 所以异面直线所成角为
6分

⑵设
，则
7分

因为
平面
，

平面
，所以
9分

所以
，所以
，
10分

所以
12分

20、（1）
2分

6分

（2）利用余弦定理
10分

该船以匀速直线行驶了20分钟的路程为
海里，

该船的行驶速度
（海里/小时） 14分

21、解：（1）、
=
3分

7分

（2）、

若
则说明在
上至少存在一个值，使不等式
成立， 8分

即在
上至少存在一个值，使
成立， 9分

令
则只需
即可。 11分

又

当
时，

从而
13分

由⑴知，

14分

22、解：(1)令n=1，则a1=S1=
=0． 2分； a3=2； 3分

（2）由
，即
， ① 得
． ②

②－①，得
． ③ 5分

于是，
． ④

③+④，得
，即
． 7分

又a1=0，a2=1，a2－a1=1，

所以，数列{an}是以0为首项，1为公差的等差数列．

所以，an=n－1． 9分

法二②－①，得
． ③ 5分

于是，
7分

所以，an=n－1． 9分

(3)假设存在正整数数组(p，q)，使b1，bp，bq成等比数列，

则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列， 10分

于是，
． 11分

所以，
(☆)．易知(p，q)=(2，3)为方程(☆)的一组解． 12分

当p≥3，且p∈N*时，
<0，

故数列{
}(p≥3)为递减数列 14分

于是
≤
<0，所以此时方程(☆)无正整数解． 15分

综上，存在唯一正整数数对(p，q)=(2，3)，使b1，bp，bq成等比数列． 16分

23、（1）过点
作直线
的垂线，垂足为
，由题意知：
，即动点
到定点与定直线
的距离相等，由抛物线的定义知，点
的轨迹为抛物线， 2分

其中
为焦点，
为准线，所以轨迹方程为
； 4分

（2）证明：设 A(
)、B(
)

过不过点P的直线方程为
5分

由
得
6分

则
， 7分

=
=
8分

=
=0. 10分

（3）设
，

=
=
（***） 12分

设
的直线方程为为
与曲线
的交点

由
，
的两根为

则

14分

同理
，得
15分

代入（***）计算
17分

18分