上海市长宁、嘉定区2013届高三第二次模拟

数学（文）

一．填空题（本大题满分56分，共14小题，每小题4分）

1．函数
的最小正周期是__________．

2．若关于
的不等式
的解集为
，则实数
_________．

3．（文）已知集合
，若
，则实数
的值

是 ．

4．已知复数
满足
＝3，则复数
的实部与虚部之和为__________．

5．求值：
_
__________．

6．已知向量
不超过5，则k的取值范围是____________．

7．设
，行列式
中第3行

第2列的代数余子式记作
，函数
的反函

数图像经过点
，则
　 ．

8．（文）已知
，且

，则
_____．

9．（文）如图是一个算法框图，则输出的
的值是____________．

10．（文）设函数
的曲线绕
轴旋转一周所得几何体的表面积__________．

11．（文）从
名男生和
名女生中任选
人参加会议，则选出
人中至少有名女生的概

率是__________．

12．（文）函数
的单调递减区间是___________．

13.（文） 已知变量
，
满足约束条件
若目标函数
仅在点
处取到最大值，则实数
的取值范围_______________.[来源:Zxxk.Com]

14．（文）设数列
是公差不为零的等差数列，
，若自然数
满足
，且
是等比数列，则
=_______________.

[来源:学.科.网Z.X.X.K]

二．选择题（本大题满分20分，共4小题，每小题5分）

15. 已知
，
是坐标平面上不与原点重合的两个点，则
的充要条件是 （　　）

A．
B.
C.
D.

16.（文）关于直线，
及平面α，β，下列命题中正确的是 （ ）

A．若
则
B．若
则

C．若
则
D．若
，则

17. 过点
作直线与双曲线
交于A、B两点，使点P为AB中点，则这样的直线 （ ）

A．存在一条，且方程为
B．存在无数条

C．存在两条，方程为
D．不存在

18. （文）已
知函数
构造函数
，定义如下：当
，那么
（ ）

A．有最小值0，无最大值 B．有最小值
，无最大值

C．有最大值1，无最小值 D．无最小值，也无最大值

三．解答题（本大题满分74分，共5小题）

19. （文）（本题满分12分
，第1小题满分6分，第2小题满分6分）

如图，已知点
在圆柱
的底面圆
上，
为圆
的直径，圆柱
的表面积为
，
，
．

（1）求三棱锥
的体积；

（2）求异面直线
与
所成角的大小．（结果用

反三角函数值表示）．

20. （本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）

在△
中，角
，

，
所对应的边
，
，
成等比数列．

（1）求证：
；

（2）求
的取值范围．

21.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分）

设函数
是定义域为
的奇函数．[来源:Zxxk.Com]

（1）求
的值；

（2）（文）若
，试说明函数
的单调性，并求使不等式
恒成立的的取值范围．

22.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分）

如图，已知点
，直线
：
，
为平面上的动点，过点
作
的垂线，垂足为点
，且
．

（1）求动点
的轨迹
的方程；

（2）（文）过轨迹
的准线与
轴的交点
作方向向量为
的直线
与轨迹
交于
不同两点
、
，问是否存在实数
使得
？若存在，求出
的范围；若不存在，请说明理由；

（3）（文）在问题（2）中，设线段
的垂直平分线与
轴的交点为
，求
的取值范围．

23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题6分）

（文）已知数列
的前
项和为
，且对于任意
，总有
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）在
与
之间插入
个数，使这
个数组成等差数列，当公差
满足
时，求
的值并求这个等差数列所有项的和
；

（3）记
，如果
（
），问是否存在正实数
，使得数列
是单调递减数列？若存在，求出
的取值范围；若不存在，请说明理由．

数学文（参考答案）

一、填空题（每小题4分，共56分）

1．
2。
3。（文） 1 4。
5。
6.
7。

8．（文）
9。（文）
10。（文）

11、（文）

12。（文）
13。 （文）

14．（文）

二、选择题（每小题5分，共20分）

15．B 16。B 17。D 18。（文）B

三、解答题

19．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）

（理）解：（1）因为
平面
，所以
，又
，所以
平面
，[来源:学,科,网]

就是
与平面
所成的角． ………………2分

因为
平面
，
与平面
所成的角为
，故
，

由
，得
，
， ………………4分

所以
，

所以
与平面
所成角的大小为
． ………………6分

（2）设点
到平面
的距离为
，由（1）可得
，
，

则
，………………8分

．………………10分

由
，得
．

所以点
到平面
的距离为
．………………12分

（文）解：（1）由题意
，解得
. ………………2分

在△
中，
，所以
．

在△
中，
，所以
． ………………4分

所以

． ………………6分

（2）取
中点
，连接
，
，则
，

得
或它的补角为异面直线
与
所成的角. ………………8分

又
，
，得
，
，

由余弦定理得
， ………………10分

所以异面直线
与
所成角的大小为
． ………………12分

20．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）

解：（1）由已知，
，所以由余弦定理，

得
………………2分

由基本不等式
，得
．………………4分

所以
．因此，
．………………6分

（2）
，

………………9分

由（1），
，所以
，所以
，

所以，
的取值范围是
． ………………12分

21．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分）

（理）解：（1）由题意，对任意
，
，

即
， ………………2分

即
，
，

因为
为任意实数，所以
． ………………4分

解法二：因为
是定义域为
的奇函数，所以
，即
，
．

当
时，
，
，
是奇函数．

所以
的值为
． ………………4分

（2）由（1）
，因为
，所以
，

解得
． ………………6分

故
，
，

令
，则
，由
，得
，

所以
，

………………9分

当
时，
在
上是增函数，则
，
，

解得
（舍去）． ………………11分

当
时，则
，
，解得
，或
（舍去）．

………………13分

综上，
的值是
． ………………14分

（文）解：（1）由题意，对任意
，
，即
，

………………2分

即
，
，

因为
为任意实数，所以
．
………………4分

解法二：因为
是定义域为
的奇函数，所以
，即
，
．

当
时，
，
，
是奇函数．

所以
的值为
． ………………4分

（2）由（1）知
，由
，得
，解得
．

………………6分

当
时，
是减函数，
也是减函数，所以
是减函数．

………………7分

由
，所以
，………………8分

因为
是奇函数，所以
． ………………9分

因为
是
上的减函数，所以
即
对任意
成立， ………………11分

所以△
， ………………12分

解得
．
………………13分

所以，的取值范围是
． ………………14分

22．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分
8分，第3小题满分6分）

（理）解：（1）设
，由题意，
，
，
，