上海市奉贤区2013届高三年级第二学期4月调研测试

数学（文科）试题

（考试时间：120分钟，满分150分） 2013、4、18

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1、函数
的最小正周期是_____________

2、在
的二项展开式中，常数项是

3、已知正数、满足
，则
的最小值是

4、执行如图所示的程序框图，输出的值为

5、已知直线
与函数
及函数
的图像分别相交

于、两点，则、两点之间的距离为

6、用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的母线与底面所在的

平面所成角为
，容器的高为10cm，制作该容器需要 cm2

的铁皮

7、若函数
的图像经过点
，则
=

8、关于的方程

的一个根是

，则

9、若点
为圆
的弦
的中点，则弦
所在直线方程为

10、已知O是坐标原点，
,若点
为平面区域
上一动点，

则
的取值范围是______________．

11、设
是定义在上以2为周期的偶函数，已知
，
，则函数
在
上的解析式是

12、设正项数列
的前项和是
，若
和{
}都是等差数列，且公差相等，

则

13、已知函数f(x)＝6x－4(x＝1,2,3,4,5,6)的值域为集合A，函数g(x)＝2x－1(x＝1,2,3,4,5,6)的值域为集合B，任意∈A∪B，则∈A∩B的概率是_______

14、已知椭圆：
，左右焦点分别为
，过
的直线
交椭圆于
两点，则
的最大值为

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15、下列命题中正确的是（ ）

（A）函数
与
互为反函数

（B）函数
与
都是增函数

（C）函数
与
都是奇函数

（D）函数
与
都是周期函数

16、条件“
”是曲线“
”为双曲线的（ ）

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

17、已知各项均为正数的等比数列
的前项和为
，若
, 则公比的取值范围是 （ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

18、直线
与双曲线
的渐近线交于
两点，设为双曲线
上的任意一点，若
(
为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19、在棱长为的正方体
中，，
分别为棱
和
的中点．

（1）求异面直线
与
所成的角；

（1）求三棱锥
的体积；

第19（文）题 第20题

20、 位于A处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与相距20
海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东

的C处，
．在离观测站A的正南方某处E，

（1）求
； （2）求该船的行驶速度v（海里/小时）；

21、三阶行列式
，元素

的代数余子式为
，
，

(1) 求集合；

(2)函数
的定义域为
若
求实数的取值范围；

22、已知数列
对任意的

满足：
，则称
为“Z数列”。

（1）求证：任何的等差数列不可能是“Z数列”；

（2）若正数列
，数列
是“Z数列”，数列
是否可能是等比数列，说明理由，构造一个数列
，使得
是“Z数列”；

（3）若数列
是“Z数列”，设
求证

23、动圆
过定点
，且与直线
相切. 设圆心
的轨迹方程为

（1）求
；

（2）曲线上一定点
，方向向量
的直线
（不过P点）与曲线交与A、B两点，设直线PA、PB斜率分别为
，
，计算
；

（3）曲线上的一个定点
，过点
作倾斜角互补的两条直线
分别与曲线交于
两点，求证直线
的斜率为定值；

参考答案

一、填空题

1．； 2．
； 3．；

4．62； 5．
； 6．
；

7．
8.
9.

10．
； 11．
12．

13．
14．
（每空2分）

二、选择题

15． C 17． B

16． D 18． B

三、解答题

19、解：（1）由题意得
‖
，

（或其补角）就是所求的异面直线所成的角 2分

计算
4分

所以所求的异面直线的角大小
6分

（2）
中，有
⊥面EGC

所以
是三棱锥
的高， 9分

． 12分

20、（1）
2分

6分

（2）利用余弦定理
10分

该船以匀速直线行驶了20分钟的路程为
海里，

该船的行驶速度
（海里/小时） 14分

21、解：（1）、
=
3分

7分

14分

(2)

若
，则说明不等式
在
上恒成立， 8分

即不等式
在
上恒成立， 9分

令
则只需
即可。 11分

又

当
时，
从而
13分

14分

22、

解：（1）设等差数列
的首项
，公差
，

3分

所以任何的等差数列不可能是“Z数列” 4分

或者根据等差数列的性质：
3分

所以任何的等差数列不可能是“Z数列” 4分

（2）假设
是等比数列，则

是“Z数列”，所以
6分

，所以
不可能是等比数列， 7分

等比数列
只要首项
公比
11分

其他的也可以：
11分

等比数列
的首项
，公比，通项公式

恒成立，

补充说明：分析：
，

根据几何意义只要
的一阶导函数单调递减就可以

（3）因为

，
，
，……，

12分

同理：

13分

因为数列
满足对任意的

所以
14分

16分

23、（文）

（1）过点
作直线
的垂线，垂足为
，由题意知：
，

即动点
到定点与定直线
的距离相等，

由抛物线的定义知，点
的轨迹为抛物线 2分

其中
为焦点，
为准线，所以轨迹方程为
； 4分

（2）证明：设 A(
)、B(
)

由题得直线的斜率
5分

过不过点P的直线方程为
6分

由
得

则
。

7分

=
=
8分

=
=0. 10分

（3）设
，

=
=
（***） 12分

设
的直线方程为

由
，

则

15分

同理
，得
16分

代入（***）计算得：
17分

18分