二O一三届高三模拟考试

数学试题（文科）

2013.4

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页.第I卷1~3页，第II卷3~5页.满分150分，考试时间120分钟.

第I卷（选择题 共60分）

注意事项：

1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B铅笔涂写在答题卡上.

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试卷上.

3.考试结束后，监考人员将答题卡和第II卷的答题纸一并收回.

参考公式：球的表面积
是球的半径.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合
中元素的个数为

A.0 B.1 C.2 D.3

2.已知i是虚数单位，若纯虚数z满足
，则实数a的值为

A.
B.2 C.
D.4

3.“
”是“数列
为等比数列”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.已知函数

A.
B.9 C.
D.

5.已知实数
满足
的最大值为

A.
B.0 C.
D.

6.右图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是

A.6 B.27 C.124 D.168

7.一名蓝球运动员在5场比赛中的得分为：14，16，21，24，25，则这组数据的平均数与标准差分别为

A.18，18，8 B.20，18.8

C.20，
D.18，

8.若双曲线
的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的
，则此双曲线的渐近线方程为

A.
B.

C.
D.

9.如图所示是一几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为

A.3 B.4

C.8 D.9

10.已知A,B是
的两个内角，向量
则

A.3 B.
C.
D.

11.函数
的大致图象为

12.已知函数
的图象关于点（1，0）对称，则

A.10 B.
C.0 D.5

第II卷（非选择题 共90分）

注意事项：第II卷所有题目的答案须用0.5mm黑色签字笔答在“答题纸”指定的位置上。

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

13.已知圆C经过
两点，圆心C在轴上，则圆C的标准方程为_________.

14.若对于任意的实数
恒成立，则实数的取值范围是_________.

15.如图所示，墙上挂有一块边长为2的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为1的扇形.某人向此木板投镖，假设每次都能击中木板，且击中为________.

16.
中，
的平分线AD交边BC于点D，且
，则AD的长为__________.

三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本题满分12分）

某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如下表：

按学历状况用分层抽样的方法在35~55岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率.

18.（本题满分12分）

已知函数
为偶函数，且其图象上相邻最高点与最低点之间的距离为
.

（1）求函数
的解析式；

（2）求函数
在区间
内的所有零点之和.

19.（本题满分12分）

一多面体的三视图和直观图如下图所示，它的正视图为直角三角形，侧视图为矩形，俯视图为直角梯形（尺寸如图所示）直观图中的平面BEFC水平放置.

（1）求证：AE//平面DCF；

（2）当
时，求该多面体的体积.

20.（本题满分12分）

已知数列
满足：
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，数列
的前n项和为
.若存在实数
，使得
，试求出实数
的最小值.

21.（本题满分12分）

已知函数
.

（1）已知函数
的解析式及单调区间；

（2）若对任意的
恒成立，求实数a的取值范围.

22.（本题满分14分）

已知抛物线
上点
处的切线经过椭圆
的两个顶点.

（1）求椭圆E的方程；

（2）过椭圆E的上顶点A的两条斜率之积为
的直线与该椭圆交于B、C两点.请问：是否存在一点D，使得直线BC恒过该点？若存在，请求出定点D的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，过点A作直线BC的垂线，垂足为H，求点H的轨迹方程.


由题意，

又
……………………………………7分

所以，
.……………………………………………………8分

注:由
，直接写出
不扣分.

（2）函数
内的所有零点为：
……………10分

内的所有零点之和为
…12分

19.（1）证法1：过点E作

由题设条件可得四边形BCGE为矩形，又ABCD为矩形，

所以AD//EG，且AD=EG.

从而四边形ADGE为平行四边形，故AE//DG………4分

又因为AE平面DCF，DG平面DCF，

所以AE//平面DCF.……………………………………6分

证法2：因为四边形BEFC为梯形，所以BE//CF.

又因为
平面DCF，
平面DCF，

所以BE//平面DCF.…………………………………………………………………2分

因为四边形ABCD为矩形，所以AB//DC.同理可证AB//平面DCF.

又因为BE和AB是平面ABE内的两相交直线，

所以平面ABE//平面DCF.…………………………………………………………4分

又因为
平面ABE，所以AE//平面DCF…………………………………6分

（2）由三视图知
平面BEFC，
平面DCF，所以AB、AD分别为四棱锥
和三棱锥A-DCF的高.…………………………………………………………7分

在
中，因为
,

所以

又因为

从而BE=CG=3.…………………………………………9分

多面体的体积V=V四棱锥A-BEFC+V三棱锥A-DCF

.…………………………………………………………………………………………12分