陕西省西工大附中2013届高三第七次适应性训练数学理试题

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数
为纯虚数，则实数
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．
或

2．集合
，集合
，则P与Q的关系是( )

A．P＝Q B．P
Q C．P
Q D．P∩Q＝(

3．设
，则使函数
的定义域为R且为奇函数的所有
的值有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．在
，则
的值是（ ）

A．
B．1 C．
D．2

5．执行右面的程序框图，若输入N＝2013，则输出S等于( )

A．1 B．
C．
D．

6．直线
与圆
相交于M,N两点，若
，则k的取值范围是（ ）

A．
B．

C．
D．

7．设
，若将函数
的图像向左平移
个单位后所得图像与原图像重合，则
的值不可能为（ ）

A．4 B．6 C．8 D．12

8．如图所示，在
中，
，
,高
，在
内作射线
交
于点
，则
的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知一个四面体有五条棱长都等于2，则该四面体的体积最大值为( )

A． B．1 C． D．2

10．设变量
满足条件
则点
所在区域的面积为（ ）

A．4 B．6 C．8 D．10

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上．

11．已知平面向量
，
，
不共线，且两两之间的夹角都为
，若|
|＝2，|
|＝2，|
|＝1，则
+
+
与
的夹角是___________．

12．在
的展开式中，x的有理项共有_________项．

13．在平面中，△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比＝.将这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中，平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB交于E，则类比的结论为＝________．

14．已知
是
椭圆的一个焦点，
是短轴的一个端点，线段
的延长线交
于点
，且
，则
的离心率为 ．

15．选做题（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）

A．（不等式选做题）设f(x)＝2|x|－|x＋3|，若关于x的不等式f(x)＋|2t－3|≤0有解，则参数t的取值范围为________．

B．(坐标系与参数方程选做题) 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin＋m＝0，曲线C2的参数方程为
(0<α<π)，若曲线C1与C2有两个不同的交点，则实数m的取值范围是____________．

C．(几何证明选做题) 已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为2，AB＝3，则切线AD的长为__________．

三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本题满分12分）已知函数
．

（Ⅰ）求函数
的最小正周期；

（Ⅱ） 当
时,求函数
的最大值,最小值．

17．（本题满分12分）数列
中，
，
（
是常数，
），且
成公比不为
的等比数列．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求
的通项公式．

18．（本题满分12分）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，
．

（Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ；

（Ⅱ）求二面角Q—BP—C的余弦值．

19．（本题满分12分）某工厂在试验阶段大量生产一种零件，这种零件有
、
两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响.若有且仅有一项技术指标达标的概率为
，至少一项技术指标达标的概率为
．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．

（Ⅰ）求一个零件经过检测为合格品的概率是多少？

（Ⅱ）任意依次抽取该种零件4个，设
表示其中合格品的个数，求
的分布列及数学期望
．

20．（本题满分13分）已知函数
．

（Ⅰ）试判断函数
的单调性，并说明理由；

（Ⅱ）若
恒成立，求实数
的取值范围．

21．（本题满分14分）已知
，直线
，
为平面上的动点，过点
作
的垂线，垂足为点
，且
．

（Ⅰ）求动点
的轨迹曲线
的方程；

（Ⅱ）设动直线
与曲线
相切于点
，且与直线
相交于点
，试探究：在坐标平面内是否存在一个定点
，使得以
为直径的圆恒过此定点
？若存在，求出定点
的坐标；若不存在，说明理由．

2013年西工大附中第七次适应性训练数学（理科）参考答案

一．选择题：

1． A 2． C 3． B 4. A 5． D

6． A 7． B 8． B 9．B 10．C

二．填空题：

11． 60°　 12．四项 13. ＝　 14.

15． A． [0,3]　 B.
. C.　 

三．解答题：

16．解：（I）
.

的最小正周期为
.

（II）.

.
当
时,函数
的最大值为1,最小值
.

17．解：（I）
，
，
，

因为
，
，
成等比数列，所以
，解得
或
．

当
时，
，不符合题意舍去，故
．

（II）当
时，由于
，
，……
，

所以
．

又
，
，故
．

当n=1时，上式也成立，所以

18．解：（I）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.

则

所以

即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.故PQ⊥平面DCQ.

又PQ
平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.

（II）依题意有B（1，0，1），

设
是平面PBC的法向量，则

因此可取

设m是平面PBQ的法向量，则

可取

故二面角Q—BP—C的余弦值为

19．解：（Ⅰ）设
、
两项技术指标达标的概率分别为
、

由题意，得

解得
或
，∴
.

即，一个零件经过检测为合格品的概率为
.

（Ⅱ）依题意知
～B(4,
)，

分布列为
，其中
，
.

20．解：（I）
?

?

故
在
递减

?? （II）
? 记

??? 再令
???

在
上递增。

?
，从而
?故
在
上也单调递增

21．（Ⅰ）设点
，则
，由
，得

，化简得
．

（Ⅱ）由
得
，

由
，得
，从而有
,
，

则以
为直径的圆的方程为
，

整理得，

由
得
，

所以存在一个定点

符合题意.